測量士補 応用測量 問3：出典: 令和8年度 問3

余弦定理を使って∠ABCと三角形の面積を求める計算問題です。正答は「1（ア：40°，イ：49.5 m²）」です。

余弦定理は「向かい合う辺の2乗＝他の2辺の2乗の和－2辺の積×その間の角のコサイン」という公式です。∠ABCの向かい合う辺はCAの9 mです。

公式に当てはめると：9² = 11² + 14² − 2×11×14×cos(∠ABC)

81 = 121 + 196 − 308×cos(∠ABC)

308×cos(∠ABC) = 236

cos(∠ABC) = 236/308 ≒ 0.7662

関数表でcos = 0.7660を調べると，約40°（cos40° = 0.7660）となります。

面積は「½×AB×BC×sin(∠ABC) = ½×11×14×sin40° = ½×11×14×0.6428 ≒ 49.5 m²」です。

【余弦定理・三角形面積の計算手順】

Step 1：余弦定理でcos(∠ABC)を計算

余弦定理：CA² = AB² + BC² − 2・AB・BC・cos(∠ABC)

与えられた値：AB = 11 m，BC = 14 m，CA = 9 m

9² = 11² + 14² − 2 × 11 × 14 × cos(∠ABC)

81 = 121 + 196 − 308 × cos(∠ABC)

308 × cos(∠ABC) = 317 − 81 = 236

cos(∠ABC) = 236 ÷ 308 = 0.76623…

Step 2：角度の特定

関数表より：

• cos40° = 0.76604
• cos41° = 0.75471

0.76623 は cos40° = 0.76604 に最も近い → ∠ABC ≒ 40°

Step 3：面積計算

S = ½ × AB × BC × sin(∠ABC)

sin40° = 0.64279

S = ½ × 11 × 14 × 0.64279

S = ½ × 154 × 0.64279

S = 77 × 0.64279

S = 49.495 ≒ 49.5 m²

選択肢の絞り込み：

∠ABC = 40° → 選択肢1か2に絞られる。面積49.5 m² → 選択肢1が正答。

【余弦定理・三角形面積計算の深層解析と測量実務への接続】

余弦定理の幾何的意味と測量実務での位置づけ：

余弦定理 c² = a² + b² − 2ab cosC は，ピタゴラスの定理（C = 90°のとき cosC = 0）の一般化です。測量実務では「3辺既知から角度を逆算する」手法として，三角測量・用地測量における面積計算に直接応用されます。

精密計算（電卓なし・関数表使用）の技法：

cos(∠ABC) = 236/308の計算を筆算で行う際の手法：

236/308 = 59/77（約分）。これを小数展開すると：

59 ÷ 77 = 0.76623…

関数表との照合は「差補間（内挿）」で精度を上げることができます：

cos39° = 0.77715，cos40° = 0.76604，cos41° = 0.75471

求めるcos = 0.76623 は cos40° = 0.76604 の直近 → 40°と確定。

面積計算の別解（ヘロンの公式）との比較：

ヘロンの公式：s = (a+b+c)/2 = (11+14+9)/2 = 17

S = √(s(s−a)(s−b)(s−c)) = √(17 × 6 × 3 × 8) = √2448 = √(4×4×9×17) = 12√17

√17 = 4.1231 より S = 12 × 4.1231 = 49.477 ≒ 49.5 m²

正弦公式と一致することを確認でき，試験での検算手段として有効です。

測量実務（面積計算）への接続：

公共測量における用地面積計算では，座標法（ガウスの面積公式）が主流ですが，三角形分割に余弦定理・正弦定理を用いるケースは地形が複雑な場合に頻出します。また，測量士試験では「最確値の計算」「誤差伝播法則」と組み合わせた面積精度の評価問題も出題されます。

計算精度の考察：

関数表の sin40° = 0.64279 は小数点以下5桁精度であり，面積計算への誤差伝播を評価すると，答えの有効数字は3桁程度が適切。本問の「49.5 m²（3桁）」は適切な有効数字表現です。測量士試験では「有効数字と精度」に関する概念理解も問われます。