測量士補 応用測量 問25：出典: 令和5年度 問25

補助点を使った間接的な交角測定から円曲線の路線長を求める計算問題（令和5年度 問25）。正答は(2)「419 m」です。

【手順1：交角Iを求める】

交点IPに杭を設置できないため，接線上の補助点C・Dで観測した角度α・βから交角を計算します。

αは接線A-IP上のC点での内角（170°）です。

C点での「偏角（A方向からIP方向への変化角）」= 180° − α = 180° − 170° = 10°

βは接線B-IP上のD点での内角（110°）です。

D点での偏角 = 180° − β = 180° − 110° = 70°

交角（接線間の交差角）I = 10° + 70° = 80°

【手順2：円弧長（路線長）を計算する】

円弧長 CL = R × I × π/180

= 300 × 80 × 3.14 / 180

= 300 × 80 / 180 × 3.14

= 300 × 0.4444 × 3.14

= 133.33 × 3.14

≈ 418.7 m ≈ 419 m → 正答(2)

【円曲線の補助点法による交角計算と弧長の算出】（令和5年度 問25）

【補助点法の原理】

交点IPに障害物（川など）がある場合，IP直上に杭を設置できない。そこで，IP手前の接線上に補助点C・Dを設置し，各補助点での内角α・βを観測して交角Iを間接的に求める。

【交角Iの導出】

α：補助点C（A-IP接線上）での内角 = ∠A-C-IP = 170°

β：補助点D（B-IP接線上）での内角 = ∠B-D-IP = 110°

接線A-C-IPは直線なので，∠A-C-IP = 180°（完全直線）が理想だが，IPの位置から見た偏角を測定している。

「偏角法」による解釈：

• CでのIP方向の偏角（直線からの曲がり角）= 180° − α = 180° − 170° = 10°
• DでのIP方向の偏角（直線からの曲がり角）= 180° − β = 180° − 110° = 70°

交角 I = A側偏角 + B側偏角 = 10° + 70° = 80°

確認：交角は接線A-B間の夾角。図でA側接線の延長方向と接線B方向がなす角度が80°。

【円弧長の計算】

CL = R × I（ラジアン）= R × I(°) × π/180

= 300 × 80 × 3.14/180

= 300 × (80 × 3.14)/180

= 300 × 251.2/180

= 300 × 1.3956

= 418.7 m ≈ 419 m → 正答(2)

【誤答パターン】

• 選択肢(3)471m：I=90°として計算した場合（300×90×3.14/180=471m）
• 選択肢(4)524m：I=100°として計算（300×100×3.14/180=523.3m≈524m）→α+β=170+110=280°として処理した誤答
• 選択肢(1)382m：I=72.9°や別の角度誤り

偏角の意味（180°からの差）を正確に理解することが正答のカギ。

【路線測量の円曲線設計・補助点法の理論と実務への応用】（令和5年度 問25）

【補助点法の幾何学的証明】

接線A-IP-B（直線）と補助点C（A-IP上），補助点D（B-IP上）の関係：

補助点Cで測定するα=∠ACD（または∠A-C-IP）。

A-C-IPが直線の場合，αは補助点CからIPを見た角度と直線A-Cとの偏差：

α = 180° − (C点での接線AB偏角) ならば 偏角 = 180° − α = 10°

幾何学的関係：

∠C-IP の偏角 = A側接線の延長とIP-A接線の交差角 = 10°

∠D-IP の偏角 = B側接線の延長とIP-B接線の交差角 = 70°

交点IPでの交角 I：

IP点での接線A-IP方向と接線B-IP方向のなす角（外角）= A側偏角 + B側偏角 = 10° + 70° = 80°

これは三角形A-C-IP（実際には直線上の点だが，偏角の合計＝交角）の外角の定理の応用。

【円曲線の設計諸元の計算体系】

交角I=80°，R=300mでの諸元：

円弧長 CL = R×I×π/180 = 300×80×3.14/180 ≈ 419 m（本問）

接線長 TL = R×tan(I/2) = 300×tan40° ≈ 300×0.839 = 251.7 m

弦長 C = 2R×sin(I/2) = 2×300×sin40° ≈ 600×0.643 = 385.7 m

中心杭間距離（外距離）E = R×(1/cos(I/2)−1) = 300×(1/cos40°−1) ≈ 300×(1.305−1) = 91.5 m

【π=3.14 vs π=3.14159の差の影響】

本問のπ=3.14：CL = 300×80×3.14/180 = 418.67 m ≈ 419 m

精確なπ=3.14159：CL = 300×80×3.14159/180 = 418.88 m ≈ 419 m

選択肢のスケール（382/419/471/524/576 m）はほぼ37〜53mずつの差があり，π≈3.14と3.14159では計算結果がほとんど変わらないため，どちらで計算しても同じ選択肢(419m)が選ばれる。

【路線測量実務での障害物対応】

交点が川・建物・崖等で直接設置不可の場合の実務対応：

1. 補助点法（本問）：接線上に補助点設置→偏角観測→交角計算

2. 三角計算法：利用可能な基準点から三角形を構成してIP位置を計算

3. GNSS測量：直接IP座標を計算（川の橋からGNSS測位）

建設現場では，路線測量の交角・曲線半径・路線長の決定が工事費用（土工量・橋梁長等）に直結するため，精密な計算が不可欠。道路設計の設計速度別に曲線半径の最小値が道路構造令で規定（設計速度60km/hで最小R=150m）。

【測量士試験への接続】

測量士では，クロソイド曲線（緩和曲線）の設計計算，縦断曲線（竪曲線）の設計，路線閉合計算，用地境界・道路中心線の座標計算，建設省令（道路構造令）との整合が出題される。