測量士補 応用測量 問26：出典: 令和6年度 問26

円曲線を含む道路の路線長を求める計算問題です。正答は 3「580 m」です。

路線長 = BP〜BC + BC〜EC（円曲線長）+ EC〜EP の 3 区間の和です。

Step1: 接線長（TL）を求める

TL = R × tan(I/2) = 200 × tan30° = 200 × 0.5774 = 115.5 m

Step2: BP〜BC（直線区間）を求める

BP〜BC = BP〜IP − TL = 280 − 115.5 = 164.5 m

Step3: 円曲線長（CL）を求める

CL = R × I × π/180 = 200 × 60 × 3.14/180 = 200 × 1.047 = 209.3 m

Step4: 路線長（BP〜EP）

= BP〜BC + CL + EC〜EP

= 164.5 + 209.3 + 206

= 579.8 m ≒ 580 m

【円曲線を含む路線長計算の手順】

基本公式の確認

• 接線長（TL）: TL = R × tan(I/2)
• 円曲線長（CL）: CL = R × I(ラジアン) = R × I° × π/180
• 外距（E）: E = R/cos(I/2) − R（参考）

Step1: 接線長（TL）の計算

I = 60°，I/2 = 30°

TL = R × tan(I/2) = 200 × tan30°

tan30° = 0.5774（巻末関数表）

TL = 200 × 0.5774 = 115.48 m

Step2: BP〜BC の距離（始点側直線長）

BP〜BC = BP〜IP − TL

= 280 − 115.48 = 164.52 m

（検証: 対称性から IP〜EC = TL も同じ 115.48 m。EC〜EP = 206 m なので IP〜EP = 115.48 + 206 = 321.48 m）

Step3: 円曲線長（CL）の計算

CL = R × I° × π/180

= 200 × 60 × 3.14/180

= 200 × (60 × 3.14/180)

= 200 × (188.4/180)

= 200 × 1.0467

= 209.33 m

Step4: 路線長（BP〜EP）

路線長 = BP〜BC + CL + EC〜EP

= 164.52 + 209.33 + 206.00

= 579.85 m ≒ 580 m

→ 選択肢 3「580 m」が正答

誤り選択肢の分析

• 選択肢 1（476 m）: EC〜EP を含め忘れた場合（164.52 + 209.33 ≒ 374 m... 数値が合わない）
• 選択肢 4（595 m）: CL を直径×π/2 等で誤計算した場合
• 選択肢 5（606 m）: TL を引かずに BP〜IP をそのまま直線長とした場合（280 + 209.33 + 206 ≒ 695... 合わない）

【円曲線設置の精密理論と路線測量への応用】

接線長（TL）の幾何学的導出

IP（交点）は，BC（円曲線始点）・EC（円曲線終点）から IP に引いた接線の交点。円の中心 O から BC・EC への半径 R は接線に直交する。

三角形 IP-BC-O（直角三角形）：

tan(I/2) = IP-BC / R → IP-BC = R × tan(I/2) = TL

円曲線長（CL）の計算

弧の長さ = 半径 × 中心角（ラジアン）

中心角 = 交角 I（円弧と接線の交角 = 扇形の中心角）

CL = R × I(rad) = 200 × (60 × π/180) = 200 × π/3

π = 3.14 使用: CL = 200 × 3.14/3 = 200 × 1.04667 = 209.33 m

π = 3.14159（精密値）使用: CL = 200 × 3.14159/3 = 209.44 m

クロソイド曲線との比較

本問は単曲線（Simple Curve: R 一定）だが，実際の道路設計ではクロソイド緩和曲線を両端に挿入：

直線 → クロソイド（徐々に曲率増加）→ 円曲線 → クロソイド（徐々に曲率減少）→ 直線

クロソイドパラメータ A: RL = A²（R：円半径，L：クロソイド長）

クロソイド長 L = A²/R

本問（R=200m，I=60°）にクロソイドを挿入した場合（A=100 とすると）：

クロソイド長 L = 100²/200 = 50 m（両端 50 m ずつ挿入）

円曲線長 = CL − 2 × L/3（近似）= 209.33 − 33.33 = 176 m（概算）

路線測量の精度管理（測量士レベル）

IP の設置精度が路線全体の精度を決定：

• IP 誤差 → 接線長 TL の誤差 → BC・EC 位置の誤差
• 偏角法（Deflection Angle Method）で中心点を設置する場合の精度計算
• 弦長誤差と偏角誤差の伝播：Δd（弦長誤差）→ 中心点位置誤差 σ = n × Δd/2（n 点目）

実務では，TS（トータルステーション）による座標法（BP 座標 → 各点の設計座標を直接設置）が主流となっており，偏角法より高精度で効率的。