測量士補 多角測量 問15：出典: 令和4年度 問15

角度の誤差が水平距離にどう影響するかを計算する問題です。

角度誤差による位置誤差の公式：

δd = D × δθ（ラジアン）

• 誤差角度 1′40″ = 100″
• ラジアンへの変換：100 ÷ (2 × 10⁵) = 5 × 10⁻⁴ rad
• 水平距離 D = 120 m

δd = 120 × 5 × 10⁻⁴ = 0.060 m = 60 mm

正解は選択肢4（60 mm）です（270字）。

トータルステーションの角度誤差が水平位置に与える影響を計算します。

角度誤差を弧長に換算する原理

半径 D の円弧において、中心角 θ（ラジアン）に対応する弧長は `D × θ` です。水平方向の角度誤差 δθ がある場合、目標点の横方向の位置誤差 δd は近似的に以下の式で表されます。

δd = D × δθ（ラジアン）

計算手順

1. 角度誤差をラジアンに変換

- 1′40″ = 1′ × 60″ + 40″ = 60″ + 40″ = 100″

- 1 ラジアン = 2 × 10⁵ ″（問題文の条件）

- δθ = 100 ÷ (2 × 10⁵) = 5.0 × 10⁻⁴ rad

2. 位置誤差を計算

- δd = 120 m × 5.0 × 10⁻⁴

- δd = 0.060 m = 60 mm

正解は4（60 mm）です。

他選択肢の誤りパターン

• 選択肢3（48 mm）：誤差を 80″ と読み違えた場合
• 選択肢5（72 mm）：誤差を 120″（2′）と読んだ場合
• 選択肢1（24 mm）：単位変換を誤って 1 ラジアン = 5 × 10⁵″ とした場合

単位変換（′→″→rad）を丁寧に行うことが正解の鍵です（510字）。

細部測量における誤差伝播の理論と実務応用を解説します。

1. 角度誤差と位置誤差の関係式導出

トータルステーション（TS）を基準点 A に整置し、点 B を観測する場面を考えます。A-B 間の水平距離を D、水平方向角度誤差を δθ とすると、B 点の横断方向（視準線に直交する方向）の位置誤差 δd は：

δd = D × tan(δθ) ≒ D × δθ（δθ が微小の場合）

2. 本問の計算

• δθ = 100″ ÷ (2 × 10⁵″/rad) = 5.0 × 10⁻⁴ rad
• δd = 120 m × 5.0 × 10⁻⁴ = 0.060 m = 60 mm

なお、角度 1 ラジアン ≒ 206,265″ ≒ 2.063 × 10⁵″ が現実の値ですが、本問では `2 × 10⁵″` と指定されているため、その値を使います。

3. 誤差の伝播：距離誤差との合成

実際の細部測量では、角度誤差と距離誤差の両方が位置誤差に寄与します。互いに独立であれば、合成位置誤差 σ_total は：

σ_total = √(σ_d² + (D × σ_θ)²)

• σ_d：距離測定誤差（例：±5 mm + 5 ppm × D）
• D × σ_θ：角度誤差起因の横断誤差

本問では距離誤差を無視しているため、角度誤差項のみで評価します。

4. 公共測量における精度要求と実務判断

公共測量作業規程準則では、細部測量の水平位置の精度は設置する基準点の精度に準じて管理されます。1 級基準点を使う場合、水平位置標準偏差は ±0.02 m（20 mm）以内が目標とされます。

本問の 60 mm は比較的大きな誤差であり、実務では：

• 望遠鏡の両盤観測（正反観測）による角度誤差の軽減
• 複数回観測の平均値採用
• EDM（光波距離計）の補正値確認

などの措置を取ります。

5. 上位資格（測量士）への接続

測量士試験では、誤差伝播の公式（テイラー展開による線形近似）、最小二乗法による平均計算、観測網の事前・事後精度解析まで問われます。本問はその基礎となる「単純な角度誤差→位置誤差換算」であり、ラジアン換算の確実な習得が出発点です（1,100字）。