電験三種 令和5年度下期 機械 問11｜電動機応用

電験三種「機械」の「電動機応用」に関する問題（令和5年度下期 問11）。正答は(5)です。

(ア) N は1分間の回転数なので、1秒間では60で割って n = N/60。

(イ) 1回転は 2π [rad] なので、1秒間に n 回転すると ω = 2π×n [rad/s]。

(ウ) 回転体の出力は P = Tω なので、T = P/ω。

(エ) 回転体の運動エネルギーは、直線運動の (1/2)mv² の m を I に、v を ω に置き換えた E = (1/2)Iω₀²。

4つすべてがそろっているのは(5)です。

【論点】回転速度・角速度・トルク・運動エネルギーの基本式（令和5年度下期 問11）

【(ア) 回転速度の換算】

N [min⁻¹] は1分間（60秒）の回転数なので n = N/60 [s⁻¹]。n = 60N は換算の向きが逆。

【(イ) 角速度】

1回転 = 2π rad。毎秒 n 回転なら ω = 2πn [rad/s]。ω = n/(2π) は掛けるべき 2π で割っている。

【(ウ) トルク】

出力（仕事率）P [W] = T [N·m] × ω [rad/s] より T = P/ω。T = Pω は単位が W·rad/s になり N·m にならない。

【(エ) 運動エネルギー】

E = (1/2)Iω₀² [J]。単位は kg·m² × (rad/s)² = kg·m²/s² = J。E = (1/2)I²ω₀ は kg²·m⁴/s となり J にならない。

【組合せの判定】

(1)：(エ)が誤り。

(2)：(ア)(イ)(ウ)(エ)すべて誤り。

(3)：(ウ)が誤り。

(4)：(ア)(イ)(エ)が誤り。

(5)：すべて正しい → 正答(5)。

【核心論点】直線運動と回転運動の対応関係を押さえれば、4つの式はすべて導ける（令和5年度下期 問11）。正答は(5)です。

【直線運動と回転運動の対応】

・位置 x [m] ↔ 角度 θ [rad]

・速度 v [m/s] ↔ 角速度 ω [rad/s]

・質量 m [kg] ↔ 慣性モーメント I [kg·m²]

・力 F [N] ↔ トルク T [N·m]

・仕事率 P = Fv ↔ P = Tω

・運動エネルギー (1/2)mv² ↔ (1/2)Iω²

・運動方程式 F = m·dv/dt ↔ T = I·dω/dt

この表から、(ウ) T = P/ω と (エ) E = (1/2)Iω₀² が直ちに得られる。(ア)(イ)は単位換算で、ω = 2πN/60 [rad/s] とまとめて覚えておくと計算が速い。

【数値例】

N = 1 500 min⁻¹ まで加速する場合：n = 1 500/60 = 25 s⁻¹、ω₀ = 2π × 25 ≒ 157.1 rad/s。

電動機出力 P = 3.7 kW なら、この回転速度でのトルクは T = 3 700/157.1 ≒ 23.6 N·m。

はずみ車の慣性モーメント I = 2 kg·m² とすると、蓄えられる運動エネルギーは E = (1/2) × 2 × 157.1² ≒ 2.47 × 10⁴ J（約24.7 kJ）。

損失を無視し、加速中ずっと出力 3.7 kW を出し続けられるとすると、加速に要する時間は E/P ≒ 24 674/3 700 ≒ 6.7 s となる。

【誤りの選択肢の見抜き方】

単位（次元）を確かめるのが最も確実である。

・(1/2)I²ω₀ の単位は (kg·m²)² × s⁻¹ でエネルギーにならない。

・Pω の単位は W × s⁻¹ = J/s² でトルクにならない。

・n = 60N、ω = n/(2π) は換算の向きを逆にした形で、数値が3 600倍や (2π)² 倍ずれる。

単位だけで(1)〜(4)を消去でき、(5)が残る。

【はずみ車の役割と応用】

エネルギーは ω₀ の2乗に比例するので、同じはずみ車でも回転速度を2倍にすると4倍のエネルギーを蓄えられる。プレス機械のように瞬間的に大きな仕事をする負荷では、はずみ車に蓄えたエネルギーを放出させることで、電動機の容量を小さくできる。また、慣性モーメントは回転軸から遠い位置にある質量ほど大きく効く（I = Σmr²）ため、はずみ車は外周部に質量を集めた形状にする。電力系統でも、発電機の回転子に蓄えられた運動エネルギーが需給の急変時に周波数の変化を緩やかにする役割を果たしており、本問の E = (1/2)Iω₀² がその基礎になっている。