電験三種 機械 問7：自動制御

電験三種「機械」の「自動制御」からの出題（令和7年度上期 問8）。正答は(2)です。

フィードバック制御の安定判別の問題。閉ループ系の安定条件は「全ての極が複素左半面（実部が負）にある」こと。

ナイキスト安定判別・ラウス・フルビッツ安定判別・ボード線図上でのゲイン余裕（位相余裕）を使う。正答(2)の記述が安定条件や特性を正確に述べている。

【自動制御（安定判別・フィードバック制御系）の解法】（令和7年度上期 問8）

【安定判別の方法】

(1) 特性根（極）判別: 閉ループ伝達関数の分母の根が全て複素左半面（Re<0）→安定

(2) ラウス・フルビッツ: 特性多項式の係数から代数的に判別

(3) ボード線図: ゲイン余裕Gm>0[dB]かつ位相余裕Pm>0°→安定

【代表的な判別指標】

• ゲイン余裕Gm: 位相が-180°になる周波数ωpcでの|G(jωpc)|の逆数[dB]

Gm = -20log|G(jωpc)| [dB]、Gm>6dBが実用安定の目安

• 位相余裕Pm: ゲインが0dB（|G|=1）になる周波数ωgcでの位相余裕

Pm = 180° + ∠G(jωgc)、Pm>30°が実用安定の目安

【正答(2)の根拠】

正答(2)の記述がフィードバック制御の安定条件・安定余裕を正確に説明している内容。他の選択肢は安定条件の説明に誤りがある。

【自動制御（フィードバック制御系の安定性解析）の深層解析】（令和7年度上期 問8）

【正答(2)の根拠：安定性理論の統一的理解】

制御系の安定性は「伝達関数の極の位置」と「周波数応答の特性」から判断する。

【時間域・複素数域・周波数域の対応】

• 時間域: 単位ステップ応答が有界→安定
• 複素数域（s平面）: 全ての極Re(p_k)<0→安定
• 周波数域: ナイキスト線図がポイント(-1, j0)を反時計回りに囲まない→安定

【ラウス・フルビッツ判別法】

特性多項式: a_n s^n + a_{n-1}s^{n-1} + ... + a₁s + a₀ = 0

必要条件: 全係数a_k > 0

十分条件（ラウス表）: 第1列の全要素が正

例: 2次系 a₂s²+a₁s+a₀ → 全係数>0であれば安定

【一次遅れ系と二次系の応答特性】

一次遅れ: G(s) = K/(1+Ts)

• 時定数T: 最終値の63.2%に達する時間
• ゲイン余裕=∞（位相が-180°に達しない）

二次系: G(s) = ωn²/(s²+2ζωns+ωn²)

• 減衰係数ζ（ダンピング比）
• ζ>1: 過減衰（単調収束）
• ζ=1: 臨界制動
• 0<ζ<1: 不足制動（振動的収束）
• ζ=0: 持続振動（安定限界）
• ζ<0: 発散（不安定）

オーバーシュート量: Mp = exp(-πζ/√(1-ζ²))×100[%]

【PID制御と安定性のトレードオフ】

• P: ゲイン増加→応答速度↑、定常偏差↓（ただし安定余裕↓）
• I: 定常偏差=0（積分で偏差を解消）→位相遅れ追加→安定余裕低下
• D: 位相進み→安定余裕改善、高周波ノイズ増幅の副作用

【電験二種・電験一種・実務への接続】

電験二種: 状態方程式（ẋ=Ax+Bu）の可制御性・可観測性、リアプノフ安定判別

電験一種: 電力系統の過渡安定度（等面積法・スイング方程式）、発電機の固有振動モード

実務: 発電機のAVR（自動電圧調整器）・ガバナのPIDゲイン整定、系統安定化装置（PSS）の設計