電験三種 令和7年度下期 理論 問12｜電磁気・回路理論

平行板電極間の電界の強さは E＝V/d [V/m]（V：電圧，d：間隔）です。電荷eを持つ粒子に電界Eが作用する力はF＝eE [N]です。したがって電子に加わる力の大きさはF＝eE＝e×(V/d)＝(V/d)e [N]です。端効果を無視した平行板電極内の電界は一様なので，電極間のどこに電子があっても同じ大きさの力が働きます。電子は負の電荷なので，力は陽極板に引き寄せられる向きに働きます。力の式に電子の質量mは入りません（mは加速度を求めるときに使う量です）。正答は(1)F＝(V/d)eです。

平行板電極中の電子への力の計算です。

【基本公式】

平行板電極（間隔d，電圧V，端効果無視）：

電界の強さ：E＝V/d [V/m]（均一電界）

電束密度：D＝ε₀E [C/m²]

電荷q [C]の粒子への力：F＝qE [N]

電子の電荷：q＝-e（eは電気素量の絶対値）

力の大きさ：|F|＝eE＝e(V/d)＝eV/d [N]

【選択肢の検討（単位で確かめる）】

力の単位は N＝J/m＝C·V/m です。

(1)(V/d)e：単位はV/m×C＝N。E=V/dに電荷eを掛けた式で正答

(2)(V/d²)e：単位はC·V/m²＝N/m。dが1回余分で力にならない（誤り）

(3)(V/d²)(m/e)：質量mが入り，eで割っている。単位はkg·V/(C·m²)で力にならない（誤り）

(4)(V/d²)em：dが余分なうえ質量mまで掛けている（誤り）

(5)(V²/d)e：電圧が2乗になっており，単位はN·Vで力にならない（誤り）

ただし書きの「電子の質量m」は，力の式には不要なひっかけの条件です。mが必要になるのは加速度a＝F/mや速度を求めるときです。

電子は負の電荷（-e）なので，力の向きは電界と逆向き＝陽極板へ向かう向きです。大きさは(V/d)eです。

平行板電極中の荷電粒子の運動は電験三種「理論」電磁気学の基礎です。

【運動方程式と軌跡】

m(d²x/dt²)＝eV/d （mは電子の質量）

初速ゼロで加速：x(t)＝(1/2)(eV/(md))t²

陽極到達時の速度：v＝√(2eV/m)（エネルギー保存：eV＝(1/2)mv²から）

【電子ボルト（eV）の定義】

1 eV＝電子1個が電位差1 Vで得るエネルギー＝1.6×10⁻¹⁹ J

V [V]の電位差で加速された電子の運動エネルギー：W＝eV [J]（または V [eV]）

【同じ原理が使われる例】

電気集塵装置（工場・発電所の排煙処理）では，コロナ放電で帯電させた粉じんにF＝qEの力を働かせて集じん電極へ引き寄せます。X線管では，管電圧Vで加速された電子が陽極に当たるときの運動エネルギーeVがX線のエネルギーの上限になります。電子ビームを偏向板の間に通す問題（陰極線管の偏向）も，偏向板間の一様電界E＝V/dによる力F＝eEから出発します。

【数値で確かめる】

V＝100 V，d＝1 cm＝0.01 mとすると，E＝V/d＝1×10⁴ V/m。

F＝(V/d)e＝1×10⁴×1.602×10⁻¹⁹≒1.60×10⁻¹⁵ N

加速度：a＝F/m＝1.60×10⁻¹⁵/(9.109×10⁻³¹)≒1.76×10¹⁵ m/s²

陽極到達時の速さ：v＝√(2eV/m)＝√(2×1.602×10⁻¹⁹×100/(9.109×10⁻³¹))≒5.93×10⁶ m/s

到達時間：t＝√(2d/a)≒3.37×10⁻⁹ s

電子に働く重力mg≒8.9×10⁻³⁰ Nは電界による力の10¹⁴分の1程度なので，電界中の電子の運動では重力を無視してよいことも分かります。

【誤りの選択肢が作られる型】

・dの2乗（(2)〜(4)）：点電荷の電界E＝Q/(4πε₀r²)の「距離の2乗」と混同した形です。平行板電極の電界は一様で，E＝V/dと距離に1乗で反比例します。

・質量m（(3)(4)）：力の式に質量は入りません。F＝eE（力）とa＝eE/m（加速度）を区別することが要点です。

・Vの2乗（(5)）：静電エネルギー(1/2)CV²や電力V²/Rの形と混同したものです。

【F＝(V/d)eを別の見方で確かめる】

電子が陰極から陽極まで動く間に電界がする仕事は W＝F×d です。一方，電位差Vで加速された電荷eが得るエネルギーは W＝eV です。F×d＝eV から F＝eV/d となり，(1)と一致します。この「力×距離＝電荷×電位差」の関係は，一様電界の問題で式を検算するのに便利です。