電験三種 理論 問6電磁誘導・インダクタンス

回路は、電源に R₁ が直列につながり、その先で C・L・R₂ が三つ並列になっています。周波数ごとに C と L の「通しやすさ」が変わるので、10 Hz と 10 MHz を分けて考えます。

10 Hz のとき：コンデンサのリアクタンスは 1/(2π×10×1/(100π))＝5 Ω、コイルは 2π×10×1/(4π)＝5 Ω で、同じ大きさです。C と L を並列にすると、この組はちょうど打ち消し合って電流を通さない（開放と同じ）状態になります。残るのは R₁ と R₂ の直列なので、電流は I(10Hz)＝V/(20＋30)＝V/50。

10 MHz のとき：周波数がとても高いので、コンデンサはほぼ導線（ショート）、コイルはほぼ断線（開放）になります。C が R₂ を飛び越えてショートするため、電流を決めるのは R₁ だけで、I(10MHz)＝V/20。

比は (V/50)÷(V/20)＝20/50＝0.4。正答は 5 です。

【回路の読み取り】電源 V に R₁ が直列、その先に C・L・R₂ の並列部分がつながる。R₁ を流れる電流＝電源電流。

【10 Hz のとき】

X_C＝1/(2πfC)＝1/(2π×10×1/(100π))＝1/0.2＝5 Ω

X_L＝2πfL＝2π×10×1/(4π)＝5 Ω

X_L＝X_C なので L と C の並列部は並列共振（反共振）となり、アドミタンスの和が 0（インピーダンス無限大＝開放）。

→ 電流は R₁＋R₂ を通る：I(10Hz)＝V/(20＋30)＝V/50

【10 MHz のとき】

X_C＝1/(2π×10⁷×1/(100π))＝1/(2×10⁵)＝5×10⁻⁶ Ω ≒ 0（ほぼ短絡）

X_L＝2π×10⁷×1/(4π)＝5×10⁶ Ω（ほぼ開放）

C が短絡状態なので R₂ も短絡され、電流は R₁ だけで決まる：I(10MHz)＝V/20

【電流比】I(10Hz)/I(10MHz)＝(V/50)/(V/20)＝20/50＝0.4 → 選択肢 5

【ひっかけ】10 Hz で「LC 共振だから電流が最大」と考えるのは直列共振との取り違え。並列共振では電源から見て LC 部が開放になり、電流は小さくなる。正答は 5。

本問は「周波数を変えると回路がどう単純化されるか」を問う問題で、素子の周波数特性を読み取る力で解きます。

【並列共振の確認】

L と C の並列合成アドミタンスは Y＝j(ωC－1/(ωL))。共振周波数 f₀＝1/(2π√(LC))。

LC＝1/(100π)×1/(4π)＝1/(400π²) より √(LC)＝1/(20π)、f₀＝1/(2π×1/(20π))＝10 Hz。

つまり 10 Hz はちょうど LC 並列共振周波数。このとき ωC＝1/(ωL)＝0.2 S（X＝5 Ω）となり、Y＝0（理想素子なら開放）。R₂ は電流が流れる唯一の枝として直列に残る。

→ 合成インピーダンス Z(10Hz)＝R₁＋R₂＝50 Ω、I(10Hz)＝V/50

【高周波極限】

ω→大で ωC→大（C は短絡）、ωL→大（L は開放）。並列部のアドミタンスは C で支配され、R₂ を含む並列部のインピーダンスは 0 に近づく。

10 MHz での並列部の合成インピーダンスは |Z|≒X_C＝5×10⁻⁶ Ω で、R₁＝20 Ω に比べ無視できる。

→ I(10MHz)≒V/R₁＝V/20

【結論】I(10Hz)/I(10MHz)＝R₁/(R₁＋R₂)＝20/50＝0.4（選択肢 5）。

【検算のコツ】比を取ると V は消える。「共振 10 Hz は R₁＋R₂、高周波は R₁ だけ」と二つの状況を作れば、ほぼ暗算で答えが出る。

【実務への接続】並列共振（反共振）は、力率改善用コンデンサと系統のインダクタンスが特定の高調波で共振して高調波電流を拡大する現象として現れる。そのため高調波対策では直列リアクトルを入れて共振周波数をずらす。電験では「どの周波数で何が開放・短絡になるか」を最初に整理する習慣が、複雑な回路でも有効。正答は 5。