電験三種 令和5年度下期 機械 問13｜自動制御

電験三種「機械」の「自動制御」に関する問題（令和5年度下期 問13）。正答は(4)です。

図の制御系は、比例要素 K と積分要素 1/(jωT) を直列にし、出力をそのまま入力側へ戻す（直結フィードバック）構成です。閉ループ伝達関数は「前向き伝達関数 ÷（1 + 前向き伝達関数）」で、

W = (K/(jωT)) ÷ (1 + K/(jωT)) = K/(K + jωT) = 1/(1 + jωT/K)

となります。これは時定数 T/K の一次遅れ要素なので、低い周波数ではゲイン 0 dB、折れ点 ω = K/T から −20 dB/dec で下がる特性になり、(4)が正解です。

【論点】直結フィードバック系の閉ループ伝達関数とボード線図（令和5年度下期 問13）

【閉ループ伝達関数】

前向き伝達関数 G(jω) = K × 1/(jωT) = K/(jωT)

直結フィードバックなので W(jω) = G/(1 + G)

W(jω) = (K/(jωT)) / (1 + K/(jωT)) = K/(jωT + K) = 1/(1 + jω(T/K))

【ゲイン特性】

|W| = 1/√(1 + (ωT/K)²)

・ω ≪ K/T：|W| ≒ 1 → 20log₁₀1 = 0 dB（水平線）

・ω ≫ K/T：|W| ≒ K/(ωT) → ω が10倍になるごとに 20 dB 下がる（−20 dB/dec）

・折れ点：ωT/K = 1 より ω = K/T

したがって「0 dB の水平線、折れ点 K/T、−20 dB/dec」の(4)。

【誤りの選択肢】

(1)(3)(5)：低周波域が 20log₁₀K [dB] になっている。これは W = K/(1 + jωT) のような形のときの特性で、本問のように前向き要素に積分を含む直結フィードバック系では、低周波でループゲインが非常に大きくなり、閉ループのゲインは1（0 dB）に近づく。

(2)：折れ点が T/K になっている。T/K は閉ループの時定数であり、折れ点角周波数はその逆数の K/T である。

【核心論点】積分要素を含む直結フィードバック系は、閉ループで「時定数 T/K の一次遅れ」になる（令和5年度下期 問13）。正答は(4)です。

【ブロック線図の整理】

図は、R(jω) から加え合わせ点（R は＋、帰還信号は−）を経て、比例要素 K、積分要素 1/(jωT) を直列に通り、出力 C(jω) をそのまま加え合わせ点へ戻す構成である。前向き伝達関数を G = K/(jωT)、帰還要素を H = 1 とすると、

W = G/(1 + GH) = K/(K + jωT) = 1/(1 + jωT/K)

となる。分母の形 1 + jωτ から、閉ループの時定数は τ = T/K、折れ点角周波数は ωc = 1/τ = K/T と読み取れる。

【折線近似の作り方】

ゲイン g = 20log₁₀|W| = −10log₁₀{1 + (ωT/K)²} [dB]

・低周波域：(ωT/K)² ≪ 1 で g ≒ 0 dB → 横軸に重なる水平線

・高周波域：(ωT/K)² ≫ 1 で g ≒ −20log₁₀(ωT/K) → 傾き −20 dB/dec の直線

・2本の直線は ω = K/T で交わり、これが折れ点。実際の曲線は折れ点で −3 dB（20log₁₀(1/√2) ≒ −3.0 dB）となり、折線近似との差が最も大きい点である。

【物理的な意味】

低周波で 0 dB ということは、ゆっくり変化する目標値には出力がそのまま追従する（定常偏差ゼロ）ことを表す。前向き要素の積分 1/(jωT) は、ω → 0 で大きさが無限大になるため、ループゲインが十分大きくなり閉ループのゲインが1に近づく。K を大きくすると折れ点 K/T が高周波側へ移り、速い変化にも追従できる（応答が速くなる）。時間応答で見れば、ステップ入力に対する出力は時定数 T/K で 1 − e^(−tK/T) の形で目標値に近づく。

【誤りの選択肢のつくり】

・(1)(3)(5)は低周波ゲインを 20log₁₀K としている。これは前向き要素が K/(1 + jωT) で、フィードバックがない（開ループ）ときの特性である。積分要素と比例要素を区別できているかが問われている。

・(1)の 1/T、(3)の T は、K の影響を無視した折れ点である。

・(2)の T/K は時定数そのもので、折れ点は時定数の逆数であることを取り違えた値である。

【関連知識】

開ループ伝達関数 G = K/(jωT) のゲイン線図は、全周波数で −20 dB/dec の直線で、0 dB を横切る角周波数（ゲイン交差角周波数）が ω = K/T である。閉ループの折れ点が開ループのゲイン交差角周波数と一致するのは、この形の系の特徴であり、開ループ特性から閉ループの速応性を読み取る手がかりになる。