電験三種 令和4年度上期 理論 問8｜電磁誘導・インダクタンス

スイッチ S はコイルと並列につながっているので，S を閉じるとコイルが短絡され，回路は抵抗 R だけになります。電力を消費するのは抵抗だけです。

・S を閉じたとき：P = E²/R

・S を開いたとき：電流は E/√(R² + (2πfL)²) に減り，P = E²R/{R² + (2πfL)²}

開いたときが閉じたときの 1/2 なので R² + (2πfL)² = 2R²，つまり 2πfL = R です。

よって L = R/(2πf) [H] となります。正答は(2)です。

【S の役割】

S はコイル L の両端に並列に入っています。閉じると L が短絡され，回路は R だけ，開くと R と L の直列回路になります。

【消費電力の比較】

コイルは電力を消費しないので，有効電力は抵抗で消費される I²R だけです。

・S 閉：I = E/R，P_閉 = E²/R

・S 開：Z = √(R² + X_L²)，X_L = 2πfL，I = E/Z，P_開 = E²R/(R² + X_L²)

P_開/P_閉 = R²/(R² + X_L²) = 1/2

→ R² + X_L² = 2R² → X_L = R → 2πfL = R → L = R/(2πf) [H]

正答は(2)です。

【単位で誤りの選択肢を見分ける】

L の単位 H は Ω·s です。f の単位は 1/s なので

・(2) R/(2πf)：Ω·s → H として正しい

・(1) 2πfR：Ω/s，(3) 2πf/R：1/(Ω·s)，(4) (2πf)²/R：1/(Ω·s²) → いずれも H にならない

・(5) R/(πf) は単位は正しいが，X_L = 2πf × R/(πf) = 2R となり，電力比は R²/(R² + 4R²) = 1/5 で条件に合いません。

【力率から見る】

S を開いたときの回路の力率は cos θ = R/Z です。消費電力は P = EI cos θ = (E²/Z)(R/Z) = E²R/Z² と書けます。

P が閉じたときの 1/2 になる条件は Z² = 2R²，つまり Z = √2 R で，このとき cos θ = 1/√2，θ = 45° です。インピーダンス三角形が直角二等辺三角形になり，X_L = R となります。

電流は閉じたときの 1/√2 倍になり，電力は電流の 2 乗に比例するので 1/2 倍，という関係でも確認できます。

【数値で確かめる】

R = 10 Ω，f = 50 Hz，E = 100 V とすると，L = 10/(2π × 50) ≈ 31.8 mH です。

・S 閉：P = 100²/10 = 1000 W

・S 開：X_L = 2π × 50 × 0.0318 ≈ 10 Ω，Z = √(10² + 10²) ≈ 14.14 Ω，I ≈ 7.07 A，P = 7.07² × 10 ≈ 500 W

確かに 1/2 になっています。(5) の R/(πf) ≈ 63.7 mH では X_L ≈ 20 Ω，Z = √500 ≈ 22.4 Ω，P = 100² × 10/500 = 200 W で 1/5 になります。

【よくある間違い】

・X_L = R から L を求めるとき，X_L = 2πfL を L について解き忘れ，(1) の 2πfR と書いてしまう。

・ω = 2πf と書くべきところを πf としてしまい (5) を選ぶ。

・電力を E²/Z（皮相電力）で比べてしまう。皮相電力の比で 1/2 とすると Z = 2R，X_L = √3 R となり，選択肢のどれにも当てはまりません。消費電力（有効電力）は抵抗で消費される分だけである点に注意します。

【関連する考え方】

コイルを短絡・開放して電力や電流の変化から L を求める問題は，「有効電力は抵抗だけで消費される」「電流比の 2 乗が電力比」という二点を押さえれば，コンデンサの場合（X_C = 1/(2πfC)）にも同じ手順で解けます。本問と同じ条件でコイルの代わりにコンデンサなら，X_C = R から C = 1/(2πfR) となります。