第二種電工 電気の基礎理論 問45：電気の基礎理論

抵抗とコイルの直列回路では、電圧が位相のずれた 2 つの成分に分かれるため、インピーダンスは単純に足し算（30+40=70）にならない。ピタゴラスの定理（三平方の定理）を使い Z = √(R² + X_L²) で求める。Z = √(30² + 40²) = √(900 + 1600) = √2500 = 50Ω（正答ウ）。30-40-50 の直角三角形（3-4-5 の倍数）は試験によく出る黄金比率。R = 30、X_L = 40 の組合わせを見たら即座に「50」と反応できると解答時間を大幅に短縮できる。

RL 直列回路のインピーダンス計算（三平方の定理の適用）。

【RL 直列回路のインピーダンス公式】

Z = √(R² + X_L²) [Ω]

R：抵抗 [Ω]（有効成分）

X_L：誘導性リアクタンス [Ω]（無効成分・コイル）

インピーダンス三角形の斜辺が Z、水平辺が R、垂直辺が X_L。

【本問の計算】

Z = √(30² + 40²) = √(900 + 1600) = √2500 = 50Ω（正答ウ）

これは 3-4-5 の直角三角形の 10 倍（30-40-50）。試験頻出パターン。

【位相角 φ（力率角）の計算】

φ = arctan(X_L / R) = arctan(40/30) = arctan(1.333) ≒ 53.1°

力率 cosφ = R/Z = 30/50 = 0.6

【電源 100V 接続時の電流】

I = V/Z = 100/50 = 2A

抵抗の電圧：V_R = IR = 2×30 = 60V

コイルの電圧：V_L = IX_L = 2×40 = 80V

電圧の合成（位相差考慮）：√(60² + 80²) = √(3600+6400) = √10000 = 100V ✓

【試験頻出の直角三角形（3-4-5 族）】

R=3, X=4, Z=5（基本）

R=6, X=8, Z=10（2 倍）

R=30, X=40, Z=50（10 倍・本問）

RL 直列回路のインピーダンス計算はフェーザ表現・複素インピーダンス・電力三角形への発展の基礎。電動機・変圧器・蛍光灯安定器の特性理解に直結する。

【複素インピーダンスによる表現】

RL 直列回路のインピーダンスをフェーザ（複素数）で表すと：

Z = R + jX_L = 30 + j40 [Ω]

絶対値（大きさ）：|Z| = √(R² + X_L²) = 50Ω（本問）

偏角（位相角）：∠Z = arctan(X_L/R) = arctan(40/30) ≒ 53.1°

複素数の極座標表示：Z = 50∠53.1° = 50(cos53.1° + j sin53.1°)

フェーザ計算の利点：正弦波の加算・乗算・除算が代数演算で行える。

V_L = I × Z（複素数乗算）で電流と電圧の振幅比・位相差を一括計算できる。

【電圧三角形と電力三角形】

RL 直列回路に電流 I が流れるとき：

• 抵抗の電圧 V_R = IR（電流と同位相）
• コイルの電圧 V_L = IX_L（電流より 90° 進む）
• 電源電圧 V = √(V_R² + V_L²)（三平方の定理）

これが「電圧三角形」。それぞれを I で割ると R・X_L・Z の「インピーダンス三角形」、I を掛けると消費電力・無効電力・皮相電力の「電力三角形」になる。

【電力三角形の計算（電源 100V、Z=50Ω の場合）】

I = 100/50 = 2A

有効電力 P = I²R = 4×30 = 120W（抵抗での消費）

無効電力 Q = I²X_L = 4×40 = 160var（コイルでの蓄放）

皮相電力 S = VI = 100×2 = 200VA

確認：S = √(P² + Q²) = √(120² + 160²) = √(14400+25600) = √40000 = 200VA ✓

力率 cosφ = P/S = 120/200 = 0.6

【誘導電動機（モーター）との対応】

誘導電動機（三相モーター）の等価回路は基本的に RL 直列（抵抗 = 銅損・機械的出力、リアクタンス = 磁化リアクタンス）で近似できる。

一般的な誘導電動機の力率：0.7〜0.9（遅れ）

→ モーターが多い工場では大きな遅れ無効電力が発生

→ 進相コンデンサ（X_C = X_L になる容量）を並列に設置して力率改善

進相コンデンサの容量 C を求める式：

cosφ₁ → cosφ₂ に改善するのに必要な無効電力 Q_C = P(tanφ₁ - tanφ₂)

C = Q_C / (ωV²) = Q_C / (2πfV²)

【インピーダンス三角形の派生パターン（試験頻出）】

試験で出る直角三角形のパターンを網羅する：

①3-4-5 系：(R,X,Z) = (30,40,50)、(60,80,100)、(3,4,5)×n

②5-12-13 系：(R,X,Z) = (50,120,130)、(25,60,65)

③8-15-17 系：(R,X,Z) = (80,150,170)

④一般型：Z = √(R²+X²) を計算する

Z > R かつ Z > X の関係を満たすかで誤答をチェックできる。本問でウ(50)は 30 と 40 の両方より大きい ✓、エ(70)は 30+40 の単純和で誤り ✗。

【インピーダンスと周波数の関係】

コイルの X_L = 2πfL は周波数依存であるため、RL 直列回路のインピーダンスも周波数によって変わる。

f → 0（直流）：X_L → 0、Z → R（抵抗のみ）

f → ∞：X_L → ∞、Z → ∞（電流が流れなくなる）

これを利用した「RL フィルタ（ハイカットフィルタ）」：

遮断周波数 f_c = R/(2πL) より高い周波数成分を減衰させる。

例：R=30Ω、L（X_L=40Ω at 50Hz）の遮断周波数：

L = X_L/(2πf) = 40/(2π×50) ≒ 0.127H

f_c = R/(2πL) = 30/(2π×0.127) = 30/0.798 ≒ 37.6Hz

37.6Hz 以上の高周波成分が減衰→ 低域フィルタ（ローパスフィルタ）として機能。

【電験三種への接続】

電験三種「理論」ではフェーザ図を用いたインピーダンス計算・交流回路の電力計算・共振回路の解析が頻出。「機械」では誘導電動機の等価回路（T 型等価回路）でインピーダンスの概念が応用される。「電力」では送電線の等価回路（R＋jX の直列回路として表現）でインピーダンス計算が送電損失・電圧降下計算に使われる。

第二種電気工事士では Z = √(R² + X²) と力率 cosφ = R/Z の計算を確実にマスターすることが交流理論全体の要。