電験三種 令和7年度上期 理論 問5｜電磁気学（静電界・コンデンサ）

RLC回路でコンデンサをV[V]に充電した状態からスイッチを閉じ，最終的にコンデンサ電圧がゼロになるまでに抵抗R [Ω]で消費された電気エネルギーW [J]を求めます。エネルギー保存則を使います。初期の静電エネルギー：W₀=CV²/2 [J]（コンデンサに蓄えられたエネルギー）。最終状態（コンデンサ電圧=0）：静電エネルギー=0。消費エネルギーは全て抵抗Rで消費（インダクタンスLも存在するが最終状態でのエネルギー=0）。よってW=CV²/2 [J]。選択肢の式でCV²/2に対応するものが正答で，(5)は(1/2)CV²です。正答は(5)です。

RLC回路のエネルギー消費計算（過渡現象）です。

【エネルギー保存則の適用】

初期状態（スイッチS開）：コンデンサC [F]が電圧V [V]に充電

初期エネルギー：WC0=CV²/2 [J]，インダクタL：WL0=0（電流=0）

最終状態（十分時間経過後）：

コンデンサ端子電圧=0→WC∞=0，インダクタ電流=0→WL∞=0

エネルギー収支：WC0=WC∞+WL∞+WR（抵抗での消費）

CV²/2=0+0+WR

WR=CV²/2 [J]

【選択肢の確認（単位で確かめる）】

エネルギーの単位Jは，F×V²＝(C/V)×V²＝C·V＝Jです。

(1)(1/2)C²V：Cが2乗。単位はF²·V＝C²/Vとなり，Jにならない（誤り）

(2)(1/2)LV²：インダクタのエネルギーは(1/2)LI²で電流の2乗。電圧の2乗を掛けてもJにならない（誤り）

(3)(1/2)L²V：Lが2乗でVも1乗。Jにならない（誤り）

(4)(1/2)(V²/R)：V²/Rは電力[W]。時間の要素がないのでエネルギー[J]にならない（誤り）

(5)(1/2)CV²：初めにコンデンサに蓄えられていた静電エネルギーそのもの（正答）

正答は(5)WR=CV²/2 [J]

RLC回路のエネルギー解析は電験三種「理論」の過渡現象の重要論点です。

【RLC回路の振動条件とエネルギー】

R<2√(L/C)：減衰振動（アンダーダンプ）→コンデンサとインダクタでエネルギーをやり取りしながらRで消費

R=2√(L/C)：臨界制動（クリティカルダンプ）→最速で定常値に収束

R>2√(L/C)：過制動（オーバーダンプ）→振動なし

いずれの場合も最終的に全エネルギーWR=CV²/2 [J]が抵抗で消費される（初期エネルギー=最終消費エネルギー）

【コンデンサとインダクタのエネルギー式】

コンデンサ：W=CV²/2=Q²/(2C)=QV/2

インダクタ：W=LI²/2

【積分で確かめる（Lのない場合）】

L＝0のRC放電なら電流は i＝(V/R)e^(−t/(RC)) です。抵抗での消費エネルギーは

W＝∫₀^∞ i²R dt＝(V²/R)∫₀^∞ e^(−2t/(RC)) dt＝(V²/R)×(RC/2)＝(1/2)CV²

となり，RやLの値に関係なく(1/2)CV²になります。Lがあると電流の波形（減衰振動か非振動か）は変わりますが，最終的に電流も電圧も零になるので，エネルギー保存則から同じ結果になります。本問で選択肢にL・Rが入った式が並ぶのは，「RLC回路だから答えにLやRが入るはず」という思い込みを試すためです。

【数値例】

C＝10 μF，V＝1 000 Vなら W＝(1/2)×10×10⁻⁶×1 000²＝5 J。Rを10 Ωにしても1 kΩにしても，消費されるのは5 Jで変わりません。Rが変えるのは放電にかかる時間（時定数RC）だけです。

【関連論点：充電時の損失】

零の状態から直流電圧Vで抵抗を通して充電すると，電源が送り出すエネルギーはQV＝CV²，コンデンサに蓄えられるのは(1/2)CV²で，残りの(1/2)CV²は抵抗で消費されます。この「半分は抵抗で失われる」もRの値によらない結果で，放電の問題と対になる頻出論点です。

【電験二種・実務への接続】

電験二種では，RLC過渡現象のラプラス変換解法や，進相コンデンサ投入時の突入電流が出題されます。実務では，高圧進相コンデンサには開放後の残留電荷を放電させる放電抵抗（または放電コイル）が付いており，点検時には残留電圧が十分下がったことを検電・接地で確かめてから触れます。放電で抵抗に生じる熱が(1/2)CV²で決まることは，放電抵抗の容量を考えるときの基礎になります。