電験三種 令和7年度上期 理論 問4｜電磁気学（磁気回路）

無限長直線電流から距離aの点の磁界H₁と，半径aの円形コイルの中心の磁界H₂が等しい条件からI₁とI₂の関係を求めます。無限長直線電流：H₁=I₁/(2πa) [A/m]。半径aの1巻き円形コイルの中心：H₂=I₂/(2a) [A/m]。H₁=H₂の条件：I₁/(2πa)=I₂/(2a) → I₁/π=I₂ → I₁=πI₂。よってI₁=πI₂の関係があります。選択肢から I₁=πI₂に対応するのは(5)です。正答は(5)です。

直線電流と円形電流の磁界の等値条件からI₁とI₂の関係を求めます。

【磁界の公式】

無限長直線電流I₁（距離a離れた点P）：

H₁=I₁/(2πa) [A/m]（アンペールの法則：∮H·dl=I → H×2πa=I）

半径aの1巻き円形コイル（電流I₂，中心点O）：

H₂=I₂/(2a) [A/m]（円形電流の中心磁界）

【H₁=H₂の条件】

I₁/(2πa)=I₂/(2a)

I₁/π=I₂

I₁=πI₂ ···正答

→ 選択肢を確認：I₁=πI₂に対応する選択肢は(5)です

【誤りの選択肢】

(1)I₁=π²I₂，(3)I₁=I₂/π²：πが2乗になる計算はどこにも出てこない（誤り）

(2)I₁=(2/π)I₂：I₁/(2πa)＝I₂/(2a)を解いても係数2/πは出てこない。等式の両辺を正しく2aで払えば I₁/π＝I₂ になる（誤り）

(4)I₁=I₂/π：比を逆にした形。直線電流の方が磁界を作りにくいので，I₁はI₂より大きくなければならない（誤り）

【確認】

同じ距離aで比べると，直線電流の磁界はI/(2πa)，円形電流の中心磁界はI/(2a)で，円形電流の方がπ倍強い磁界を作ります。円形コイルでは導線のどの部分も中心から同じ距離aにあり，すべての部分の磁界が中心で同じ向きに重なるためです。したがって同じ磁界を作るには，直線電流にπ倍（約3.14倍）の電流が必要です。

直線電流と円形電流の磁界計算は電験三種「理論」の静磁界の核心論点です。

【アンペールの法則と対称性】

アンペールの法則：∮H·dl=I_enc

・無限長直線電流：円対称→H=I/(2πr)

・ソレノイド（単位長あたりn巻）：直線対称→H=nI

・トロイダルコイル（N巻，半径r）：H=NI/(2πr)

【ビオ・サバールの法則から円形電流の磁界を導出】

半径aの円形電流Iの中心磁界：

H=∫dH=∫(I×dl/(4πa²))=I×(2πa)/(4πa²)=I/(2a)

【二つの式の違いの理由】

直線電流では，導線の各部分から点Pまでの距離と角度が場所ごとに違い，遠い部分ほど寄与が小さくなります。これを無限長にわたって足し合わせた結果が I/(2πa) です。円形コイルでは，導線のどの部分も中心Oから同じ距離aにあり，電流の向きと中心への向きが常に直角なので，全周2πaの寄与が同じ大きさ・同じ向きで重なって I/(2a) になります。

【数値で確かめる】

a＝0.1 m，I₂＝1 Aとすると H₂＝1/(2×0.1)＝5 A/m。

I₁＝πI₂＝π Aなら H₁＝π/(2π×0.1)＝5 A/m となり，H₁＝H₂が成り立ちます。

真空中の磁束密度に直すと B＝μ₀H＝4π×10⁻⁷×5≒6.28×10⁻⁶ T です。

【形が変わったときの中心磁界（関連論点）】

・N巻きの円形コイル：H＝NI/(2a)（1巻きのN倍）

・半円形の導線の中心：H＝I/(4a)（円の半分の寄与。直線部分は中心を通る延長線上なら寄与なし）

・半無限長の直線（端から垂直にaの点）：H＝I/(4πa)（無限長の半分）

いずれもビオ・サバールの法則で「導線のどの部分が，どの距離・角度で点に寄与するか」を考えれば導けます。本問のように二つの形を比べる問題では，式を並べて等号で結び，aを消去するのが定石です。

【この式が使われる場面】

電流が作る磁界の式は，平行導体間の電磁力F＝μ₀I₁I₂l/(2πd)の導出や，短絡電流による母線・ケーブルの電磁力の計算の土台です。また，変流器（貫通形CT）が一次導体のまわりの磁界から電流を測る原理も，直線電流の磁界H＝I/(2πr)そのものです。