電験三種 令和6年度上期 理論 問7｜電磁気・回路理論

「負荷の抵抗が，電源側の抵抗と等しいときに負荷の電力が最大になる」という最大電力の定理を使う問題です。

R₂ から見ると，電源側には内部抵抗 r と抵抗 R₁ があります。R₂ を外して端子から電源側を見ると，起電力を短絡したとき r と R₁ は並列なので，電源側の抵抗は rR₁/(r + R₁) です。

したがって R₂ = rR₁/(r + R₁) のときに R₂ のジュール熱が最大になります。R₂ = r（R₁ を無視）や R₂ = R₁（r を無視）は片方の抵抗しか見ていません。正答は(3)です。

【テブナンの定理で電源側をまとめる】

R₂ を外した端子の開放電圧と，電源側の合成抵抗を求めます。

・開放電圧：E₀ = E × R₁/(r + R₁)（r と R₁ の分圧）

・電源側の抵抗：R₀ = r と R₁ の並列 = rR₁/(r + R₁)

すると回路は「起電力 E₀・内部抵抗 R₀ の電源に R₂ をつないだ回路」と同じになります。

【R₂ の消費電力を最大にする】

P₂ = E₀²R₂/(R₀ + R₂)² = E₀²/(R₀²/R₂ + 2R₀ + R₂)

分母の R₀²/R₂ + R₂ は，相加・相乗平均より R₀²/R₂ = R₂，つまり R₂ = R₀ のとき最小になります。

よって R₂ = R₀ = rR₁/(r + R₁) で P₂ が最大です。正答は(3)です。

【誤りの選択肢】

(1) R₂ = r は R₁ がない（R₁ → ∞）場合の答えで，R₁ による分流を無視しています。

(2) R₂ = R₁ は内部抵抗 r を無視しています。

(4)(5) は分母が差になっており，R₁ = r のとき無限大，大小関係によっては負の抵抗になってしまうので，抵抗値として成り立ちません。

【微分による確認】

P₂ = E₀²R₂/(R₀ + R₂)² を R₂ で微分すると

dP₂/dR₂ = E₀²{(R₀ + R₂)² − 2R₂(R₀ + R₂)}/(R₀ + R₂)⁴ = E₀²(R₀ − R₂)/(R₀ + R₂)³

R₂ < R₀ で正，R₂ > R₀ で負なので，R₂ = R₀ で極大（かつ最大）です。

このときの最大電力は

P₂max = E₀²/(4R₀) = {E²R₁²/(r + R₁)²} × (r + R₁)/(4rR₁) = E²R₁/{4r(r + R₁)} [W]

【数値で確かめる】

E = 12 V，r = 2 Ω，R₁ = 2 Ω とすると，E₀ = 6 V，R₀ = 1 Ω です。

・R₂ = 1 Ω：P₂ = 36 × 1/(1 + 1)² = 9 W

・R₂ = 2 Ω：P₂ = 36 × 2/(1 + 2)² = 8 W

・R₂ = 0.5 Ω：P₂ = 36 × 0.5/(1.5)² = 8 W

R₂ = 1 Ω = rR₁/(r + R₁) で最大となり，公式 E²R₁/{4r(r + R₁)} = 144 × 2/(4 × 2 × 4) = 9 W とも一致します。

この数値では (1) と (2) はどちらも R₂ = 2 Ω となり 8 W で最大ではありません。(4)(5) は R₁ = r なので分母が 0 になり，値そのものが求まりません。

【考え方の要点】

「負荷から電源側を見た抵抗」を求めるときは，電圧源を短絡して見える抵抗を合成します。本問では R₂ の端子から見ると r と R₁ が並列に見えるので，直列（r + R₁）と取り違えないことが大切です。なお，このとき電池全体から見た効率は 50 % を下回ります（R₁ にも電流が流れ，r でも損失が出るため）。最大電力の条件は「負荷の電力を最大にする条件」であって，「効率を最大にする条件」ではない点も押さえておきましょう。

【関連する出題】

同じ考え方は，ブリッジ回路の一辺の抵抗の電力最大や，交流回路のインピーダンス整合（負荷インピーダンスを電源側インピーダンスの共役複素数にする）にも使われます。電源側をテブナンの等価回路にまとめてから R₂ = R₀ を当てはめる手順を身につけると，回路が複雑になっても同じ手順で解けます。