電験三種 令和6年度上期 理論 問6｜直流回路

3つの電池と抵抗からなる直流回路で、Rに流れる電流0.3 AからRの値を求める問題です（令和6年度上期 問6）。

右側の接続点の電位を0 Vとし、左側の接続点（6 Ωの右端）の電位をVaとおきます。図の電池は長い線が＋で、9 Vは上が＋、3 Vと4 Vは右側が＋です。

6 Ωを流れる電流は、Rの電流0.3 Aと1 Ωの電流の和になるので

(9－Va)/6＝0.3＋(Va＋4)/1

を解くと Va＝－2.4 V。Rの枝では Va＋3－0.3R＝0 より R＝0.6/0.3＝2.0 Ω。正答は(1)です。

【電位の基準と電池の向き】（令和6年度上期 問6）

右側の接続点（Rと1 Ωの右端）を電位の基準0 Vにとります。下の導線もこの点につながっているので、9 Vの電池の下側（－）も0 V、上側（＋）は9 Vです。

左側の接続点（6 Ωの右端の黒丸）の電位をVa [V]とします。3 Vと4 Vの電池は、図の長い線（＋）がいずれも右側にあります。

【各枝の電流】

・6 Ωの枝（左から右へ）：I₁＝(9－Va)/6

・3 VとRの枝：Vaから3 V上がり、Rで下がって0 Vになる → Va＋3－0.3R＝0

・4 Vと1 Ωの枝：Vaから4 V上がり、1 Ωで0 Vまで下がる → I₂＝(Va＋4)/1

【キルヒホッフの電流則（左側の接続点）】

I₁＝0.3＋I₂

(9－Va)/6＝0.3＋Va＋4

9－Va＝1.8＋6Va＋24

－7Va＝16.8 → Va＝－2.4 V

【Rを求める】

Va＋3－0.3R＝0 → －2.4＋3＝0.3R → R＝0.6/0.3＝2.0 Ω

【検算】

I₂＝－2.4＋4＝1.6 A、I₁＝(9＋2.4)/6＝1.9 A で、1.9＝0.3＋1.6 となり電流則を満たします。

よって正答は(1)です。

【この解き方を選ぶ理由】（令和6年度上期 問6）

未知数はRと各枝の電流ですが、Rの電流0.3 Aが与えられているので、左側の接続点の電位Vaを1つだけ未知数にとると、電流則の式1本でVaが決まります（節点電位法）。電流を3つ置いてループごとに電圧則を立てる方法でも解けますが、式の数が増え、符号の間違いも起こりやすくなります。

【電池の極性の読み方】

電池の図記号は長い線が＋、短い線が－です。本問の3 Vと4 Vはどちらも右側が＋なので、左から右へ通ると電位がそれぞれ3 V、4 V上がります。極性を逆に読むと、たとえば3 Vの向きを逆にした場合 Va－3－0.3R＝0 となって R が負の値になってしまい、選択肢のどれにも当てはまらなくなります。答えの符号や大きさが不自然になったら、まず極性の読み取りを見直します。

【左側の接続点の電位が負になる意味】

Va＝－2.4 V は、左側の接続点が右側の接続点より2.4 V低いことを表します。4 Vの電池は右側を＋として左側の接続点より4 V高い電位を右側の接続点に与えようとしますが、1 Ωで1.6 Vの電圧降下があるため、差し引き 4－1.6＝2.4 V の差になります。3 Vの枝でも 3－0.3×2.0＝2.4 V となり、2つの枝の電圧が一致していることが確かめられます。

【ミルマンの定理で確かめる】

左右の接続点の間には3つの枝が並列につながっていると見なせます。右側を基準にした左側の電位は、各枝の「起電力×コンダクタンス」の和をコンダクタンスの和で割って求めます。Rが未知のままでは使いにくいので、R＝2.0 Ωを入れて確かめると

Va＝{9×(1/6)＋(－3)×(1/2)＋(－4)×(1/1)}/(1/6＋1/2＋1/1)

＝(1.5－1.5－4)/(10/6)＝－2.4 V

となり、節点電位法の結果と一致します（3 Vと4 Vの枝は、右側を基準に見ると左側を下げる向きなので負の符号になります）。