電験三種 令和6年度上期 理論 問5｜直流回路

2つの電源をもつ直流回路で、真ん中の抵抗R＝10 Ωの消費電力を求める問題です（令和6年度上期 問5）。

Rを外して左右をそれぞれテブナンの等価回路に置き換えると、左側は 60×40/(40＋40)＝30 V・内部抵抗20 Ω、右側は 80×60/(60＋60)＝40 V・内部抵抗30 Ωになります。

2つの電源は＋側が同じ向き（上側）なので、Rに流れる電流は差の電圧で I＝(40－30)/(20＋10＋30)＝1/6 A。

電力は P＝RI²＝10×(1/6)²≒0.28 W。正答は(1)です。

【方針】（令和6年度上期 問5）

Rの左右の接続点から見て、左側（60 V・40 Ω・40 Ω）と右側（80 V・60 Ω・60 Ω）をそれぞれテブナンの等価回路に置き換えます。図の電池はどちらも長い線（＋）が上側です。

【左側の等価回路】

開放電圧：60 Vを40 Ωと40 Ωで分圧 → V₁＝60×40/(40＋40)＝30 V

内部抵抗：電源を短絡すると40 Ωと40 Ωの並列 → R₁＝40×40/(40＋40)＝20 Ω

【右側の等価回路】

開放電圧：80 Vを60 Ωと60 Ωで分圧 → V₂＝80×60/(60＋60)＝40 V

内部抵抗：60 Ωと60 Ωの並列 → R₂＝60×60/(60＋60)＝30 Ω

【Rの電流と電力】

2つの等価電源は＋側がともに上なので、Rを通る閉回路では起電力が向かい合い、差の電圧が電流を流します。

I＝(V₂－V₁)/(R₁＋R＋R₂)＝(40－30)/(20＋10＋30)＝10/60＝1/6 A（右から左へ）

P＝RI²＝10×(1/6)²＝10/36≒0.278 W

最も近いのは0.28 Wで、正答は(1)です。

【検算（節点電位）】

左の接続点の電位 Va＝30＋20×(1/6)≒33.3 V、右の接続点の電位 Vb＝40－30×(1/6)＝35 V。Rの両端の電圧は 35－33.3≒1.67 V で、1.67/10≒1/6 A と一致します。

【なぜテブナンの定理が便利か】（令和6年度上期 問5）

求めたいのはRの電流だけなので、R以外の部分を「電圧源＋内部抵抗」にまとめれば、1本の閉回路の計算で済みます。本問は左右の構造が同じ形（電源・直列抵抗・並列抵抗）で、それぞれの並列抵抗が直列抵抗と等しいため、開放電圧は電源電圧のちょうど半分、内部抵抗は抵抗の半分になり、暗算でも求められます。

【節点電位法で解くと】

左右の接続点の電位をVa、Vbとして電流則を立てると

左：(60－Va)/40＝Va/40＋(Va－Vb)/10

右：(80－Vb)/60＝Vb/60＋(Vb－Va)/10

整理すると

6Va－4Vb＝60、－6Va＋8Vb＝80

これを解いて Vb＝35 V、Va＝100/3≒33.3 V となり、Rの電流 (Vb－Va)/10＝(35－33.3)/10≒1/6 A はテブナンの結果と一致します。

【電源の向きの影響】

左右の電源の＋側がどちらも上にあるので、Rには「40 Vと30 Vの差」10 Vだけが加わる形になり、電流は小さくなります。もし一方の電源の向きが逆なら起電力は足し合わされ、電流は (40＋30)/60 と大きくなって、電力は選択肢よりはるかに大きな値になります。答えが選択肢の範囲から大きく外れたときは、電池の極性の読み違いを疑います。

【重ね合わせの理で確かめる】

60 Vだけを残すと（80 Vは短絡）、左の等価電源30 V・20 Ωに対し、R＋右側の内部抵抗30 Ωがつながり、Rの電流は 30/60＝0.5 A（左から右）。80 Vだけを残すと、右の等価電源40 V・30 Ωに対して 40/60≒0.667 A（右から左）。両者を合成すると 0.667－0.5＝1/6 A（右から左）で、同じ結果になります。

【出題のねらい】

電力は電流の2乗に比例するため、電流の小さな計算違いが電力では大きな差になります。テブナンの定理・節点電位法・重ね合わせの理のどれでも解けるので、1つの方法で求めたら別の方法で検算する習慣をつけておくと安心です。