電験三種 令和5年度下期 理論 問12｜電磁気・回路理論

一様な電界の中に置いた電子が，どのように加速されるかを問う問題です（令和5年度下期 問12）。

電荷qが電界Eから受ける力はqEです。電子の電荷は－eで，電界はx軸の負の向きなので，力は(－e)×(－E)＝eEとなり，x軸の正の向きに働きます。よって(ｱ)はeEです。

力が一定なので等加速度運動となり，速度v＝atは時間の一次関数，距離x＝(1/2)at²は二次関数です。運動エネルギー(1/2)m₀v²はv²に比例するので，時間の2乗で増えます。正答は(5)です。

【(ｱ) 運動方程式】

電界Eの中の電荷qが受ける力は F＝qE です。x軸の正方向を正とすると，電界は－E，電子の電荷は－e なので

F＝(－e)×(－E)＝eE

電子は電界と逆向き，つまりx軸の正方向に力を受けます。運動方程式は m₀a＝eE　→(ｱ) eE

【(ｲ) 速度】

a＝eE/m₀ は一定です。初速度0なので

v＝at＝(eE/m₀)t

vはtに比例する一次関数です。→(ｲ) 一次

【(ｳ) 走行距離】

x_dis＝(1/2)at²＝(eE/(2m₀))t²

tの二次関数です。→(ｳ) 二次

【(ｴ) 運動エネルギー】

W＝(1/2)m₀v²＝(1/2)m₀(eE/m₀)²t²＝(eE)²t²/(2m₀)

運動エネルギーは時間tの2乗に比例して増加します。→(ｴ) 2乗

【誤りの選択肢】

(1)は(ｴ)を1乗としていますが，運動エネルギーはvの2乗に比例し，vがtに比例するのでtの2乗です。(2)(4)は(ｱ)に1/2を付け，(ｲ)(ｳ)を入れ替えています。1/2が付くのは距離の式で，力ではありません。(3)のeE²は単位が合わず，力になりません。

正答は(5)です。

【力の向きの考え方】

電界の向きは「正の電荷が力を受ける向き」と定義されています。電子は負の電荷なので，電界と逆向きに力を受けます。本問では電界がx軸の負の向きなので，電子はx軸の正の向きに加速されます。図で速度vが正の向きに描かれているのはこのためです。

符号付きで書くと F＝qE＝(－e)(－E)＝＋eE，大きさだけで考えると「大きさeE，向きは電界と逆」です。どちらの考え方でも(ｱ)はeEになります。

【等加速度運動の三つの式】

初速度0の等加速度運動では

v＝at，x＝(1/2)at²，v²＝2ax

が成り立ちます。三つ目の式に a＝eE/m₀ を入れると (1/2)m₀v²＝eEx となり，「電界がした仕事eExがそのまま運動エネルギーになる」というエネルギー保存の形になります。電界Eの中を距離xだけ進むことは電位差V＝Exの区間を通ることなので，(1/2)m₀v²＝eV とも書けます。

【「時間の何乗か」と「距離の何乗か」】

運動エネルギーは，時間に対しては2乗（(eE)²t²/(2m₀)）で増えますが，距離に対しては1乗（eEx）で増えます。(1)の「1乗」は，この二つを取り違えた誤りとして用意されたものです。問われているのが時間tなのか，距離xなのかを必ず確認します。

【ただし書の意味】

「質量の変化が無視できる範囲」とあるのは，速度が光速に近づくと相対論的効果で質量が増えたように振る舞い，v＝atが成り立たなくなるためです。この条件のもとで，ニュートンの運動方程式がそのまま使えます。

【関連する出題パターン】

・電位差Vで加速した電子の速度 v＝√(2eV/m₀) を求める問題

・電界に垂直に入射した電子が放物線を描く偏向の問題（電界方向は等加速度，垂直方向は等速）

・磁界中の電子の円運動（半径 r＝m₀v/(eB)）と組み合わせた問題

どれも「力→加速度→速度・距離・エネルギー」の順にたどれば解けます。