電験三種 令和5年度下期 理論 問4｜電磁気学（磁気回路）

図では A の電流は下向き（−z），B の左辺の電流は上向き（+z）です。B を一周すると，右辺は下向き，上辺と下辺は横向きに流れます。

平行な電流は「同じ向きなら引き合い，逆向きなら反発」します。

・左辺（A から d）：A と逆向き → 反発で +x 向き，大きさ μ₀I_A I_B a/(2πd)

・右辺（A から a + d）：A と同じ向き → 吸引で −x 向き，大きさ μ₀I_A I_B a/(2π(a + d))

・上辺と下辺：同じ大きさで逆向きなので打ち消し合う

A に近い左辺の力の方が大きいので，合力は +x 向き，大きさは μ₀I_A I_B a²/(2πd(a + d)) です。正答は(2)です。

【A がつくる磁界】

A から距離 x の点の磁束密度は B = μ₀I_A/(2πx) [T] です。A の電流は −z 向きなので，右ねじの法則より A の右側（x > 0）では磁界は −y 向き（紙面の手前向き）です。

【各辺に働く力 F = I_B × (辺の長さ) × B】

・左辺（x = d，電流 +z）：F₁ = μ₀I_A I_B a/(2πd)，向きは +x

・右辺（x = d + a，電流 −z）：F₂ = μ₀I_A I_B a/(2π(d + a))，向きは −x

・上辺（電流 +x）と下辺（電流 −x）：同じ位置の磁界を通るので，力は −z と +z で大きさが等しく打ち消し合う

【合力】

F = F₁ − F₂ = (μ₀I_A I_B a/2π) × {1/d − 1/(a + d)} = μ₀I_A I_B a²/(2πd(a + d)) [N]，+x 向き

正答は(2)です。

【誤りの選択肢】

(1) 磁界が一様なら合力は 0 ですが，A の磁界は距離に反比例するので左右の辺の力が釣り合いません。

(3) 大きさは正しいが向きが逆です。左辺は A と逆向きの電流なので反発（+x）します。

(4)(5) の a(a + 2d) は，F₁ と F₂ を「足して」しまった値（a{1/d + 1/(a + d)} = a(a + 2d)/(d(a + d))）です。

【フレミングの左手則による向きの確認】

座標は x が右，z が上，y が紙面の奥向き（⊗）です。A の右側の磁界 B は −y（手前向き）。

・左辺：電流 +z，F ∝ ẑ × (−ŷ) = +x̂（右向き）

・右辺：電流 −z，F ∝ (−ẑ) × (−ŷ) = −x̂（左向き）

・上辺：電流 +x，F ∝ x̂ × (−ŷ) = −ẑ／下辺：電流 −x，F ∝ (−x̂) × (−ŷ) = +ẑ

上辺と下辺は x = d〜d + a の同じ範囲を通るので，力の積分値 (μ₀I_A I_B/2π) ln{(d + a)/d} が等しく，完全に打ち消し合います。

【磁束（エネルギー）から見る方法】

A の磁界が B を貫く磁束は

Φ = ∫(d→d+a) μ₀I_A a/(2πx) dx = (μ₀I_A a/2π) ln{(d + a)/d}

B の電流は図で時計回り（ループ内部に +y 向きの磁界をつくる）なので，A の磁束（−y 向き）とは打ち消し合う向きです。ループには，この打ち消し合う磁束を減らす向き，つまり A から遠ざかる向き（+x）に力が働きます。

大きさは F = I_B |dΦ/dd| = I_B × (μ₀I_A a/2π) × {1/d − 1/(d + a)} = μ₀I_A I_B a²/(2πd(a + d)) で，各辺の力を足した結果と一致します。

【数値例】

a = d = 0.1 m，I_A = I_B = 10 A のとき

F = 4π × 10⁻⁷ × 10 × 10 × 0.01/(2π × 0.1 × 0.2) = 1.0 × 10⁻⁵ N（+x 向き）

誤って足し合わせた (4) の式では a(a + 2d) = 0.03 となり 3.0 × 10⁻⁵ N と 3 倍の値になります。

【d ≫ a の近似】

F ≈ μ₀I_A I_B a²/(2πd²) となり，距離の 2 乗に反比例します。ループが小さいとき，ループは「磁気モーメント m = I_B a²」として振る舞い，力は磁界の強さではなく磁界の変化の割合（dB/dx）に比例するためです。一様な磁界の中では，ループに回転力は働いても，全体を動かす力は働きません。

【解き方の要点】

平行電流間の力 F = μ₀I₁I₂l/(2πr) の向き（同方向で吸引・逆方向で反発）を各辺に当てはめ，近い辺と遠い辺の差を取ることが本問の核心です。足し算か引き算かは，二つの辺の電流の向きが逆であることから判断します。