電験三種 令和5年度上期 理論 問10｜電磁誘導・インダクタンス

コイルに流れる電流が変化するときに生じる電圧の最大値を求める問題です（令和5年度上期 問10）。

コイルの電圧は v＝L×(電流の変化の速さ) で，電流が一定の区間では0になります。電流が変化している三つの区間で，変化の速さを比べます。

・最初の5ms：1.0mA増加 → 0.2A/s → 5×0.2＝1V

・3番目の5ms：0.5mA減少 → 0.1A/s → 0.5V

・最後の2ms：0.5mA減少 → 0.25A/s → 1.25V

最大は最後の区間の1.25Vです。正答は(4)です。

【コイルの電圧】

v＝L(di/dt)

電圧の大きさは電流の変化の速さ（グラフの傾き）に比例します。電流が一定の区間では di/dt＝0 なので v＝0 です。

【区間ごとの計算】

① 最初の5ms（増加）

di/dt＝(1.0×10⁻³)/(5×10⁻³)＝0.2［A/s］

|v|＝5×0.2＝1.0［V］

② 次の5ms（一定）：|v|＝0

③ 次の5ms（減少）

di/dt＝(0.5×10⁻³－1.0×10⁻³)/(5×10⁻³)＝－0.1［A/s］

|v|＝5×0.1＝0.5［V］

④ 次の5ms（一定）：|v|＝0

⑤ 最後の2ms（減少）

di/dt＝(0－0.5×10⁻³)/(2×10⁻³)＝－0.25［A/s］

|v|＝5×0.25＝1.25［V］

【最大値】

|v|の最大は⑤の区間の1.25Vです。

【ポイント】

電流の変化量が一番大きいのは①（1.0mA）ですが，変化にかかる時間も5msと長いので，傾きは⑤より小さくなります。電圧を決めるのは変化量ではなく「変化量÷時間」です。

正答は(4)です。

【なぜ電流の傾きで電圧が決まるか】

コイルを貫く磁束は電流に比例し（LI＝NΦ），ファラデーの法則で磁束の時間変化が起電力を生みます。

v＝N(dΦ/dt)＝L(di/dt)

このため，電流の大きさそのものではなく，電流が変化する速さだけが電圧を決めます。1.0mAで一定の区間は電流が最も大きいのに電圧は0です。

【符号まで考えると】

増加の区間①では v＝＋1.0V，減少の区間③⑤では v＝－0.5V，－1.25V となり，電流が増えるときと減るときで電圧の向きが逆になります。コイルは電流の変化を妨げる向きに電圧を生じる（レンツの法則）からです。本問は「大きさ|v|」を問うているので，符号に関係なく最大の1.25Vを選びます。電圧の波形は，①で＋1.0V，③で－0.5V，⑤で－1.25Vの長方形が並んだ形になります。

【選択肢の作り】

選択肢には，途中の計算結果と同じ値が並んでいます。

・(3) 1：最初の増加区間の電圧

・(2) 0.5：3番目の減少区間の電圧

・(1) 0.25：最後の区間の di/dt（0.25A/s）で，Lを掛ける前の値

グラフの見た目で「一番大きく変化している区間（最初の区間）」を選ぶと(3)になってしまいます。時間の目盛りが5msと2msで違うことを必ず確認します。

【エネルギーの見方】

コイルに蓄えられるエネルギーは W＝(1/2)Li² です。1.0mAのとき (1/2)×5×(1.0×10⁻³)²＝2.5×10⁻⁶J，0.5mAのとき 0.625×10⁻⁶J です。電流が減る区間ではこのエネルギーがコイルから電流源側へ戻されます。

【単位の注意】

電流はmA，時間はmsなので，比をとると10⁻³どうしが打ち消し合い，mA/ms＝A/s となります。この性質を知っていれば，0.5mA÷2ms＝0.25A/s とそのまま計算できます。

【関連する出題パターン】

・電流の波形から電圧の波形を選ぶ問題（本問の逆）

・コンデンサの電流 i＝C(dv/dt) を電圧の波形から求める問題

・電流の変化からコイルの蓄積エネルギーの変化を求める問題