電験三種 令和5年度上期 理論 問8｜電磁気学（静電界・コンデンサ）

RLC直列回路の共振と，周波数による電流の位相の変化を問う問題です（令和5年度上期 問8）。

共振周波数では2πfL＝1/(2πfC)となり，LとCのリアクタンスが打ち消し合ってインピーダンスはRだけになります。インピーダンスが最小なので，最も大きな電流が流れます（(ｱ)小さく，(ｲ)大きな）。

周波数が低いとコンデンサのリアクタンス1/(2πfC)が大きく勝つので容量性になり，電流は電圧より進みます。周波数が高いとコイルの2πfLが勝つので誘導性になり，電流は遅れます。正答は(3)です。

【(ｱ)(ｲ) 共振時のインピーダンスと電流】

直列回路のインピーダンスは

Z＝√{R²＋(2πfL－1/(2πfC))²}

共振周波数f_rでは2πf_rL＝1/(2πf_rC)なので，かっこ内が0になり Z＝R です。これはZの最小値なので，同じ電圧なら電流は最大になります。(ｱ)は「小さく」，(ｲ)は「大きな」です。

【(ｳ)(ｴ) f＜f_r のとき】

誘導性リアクタンス2πfLは周波数に比例して小さくなり，容量性リアクタンス1/(2πfC)は周波数に反比例して大きくなります。したがって 1/(2πfC)＞2πfL となり，回路全体のリアクタンスは容量性です。容量性の回路では電流が電圧より進みます。(ｳ)は「容量性」，(ｴ)は「進んだ」です。

【(ｵ)(ｶ) f＞f_r のとき】

逆に2πfL＞1/(2πfC)となり誘導性です。電流は電圧より遅れます。(ｵ)は「誘導性」，(ｶ)は「遅れた」です。

【組合せ】

小さく・大きな・容量性・進んだ・誘導性・遅れた の順になるのは(3)です。正答は(3)です。

【リアクタンスの周波数特性】

回路のリアクタンスを X(f)＝2πfL－1/(2πfC) とおくと，Xはfとともに単調に増加する関数です。f→0ではXは負の無限大（容量性），f→∞では正の無限大（誘導性）で，X＝0となる点が共振周波数

f_r＝1/(2π√(LC))

です。f_rの両側で符号が入れ替わることが，(ｳ)と(ｵ)の答えが逆になる理由です。例えば L＝10mH，C＝10μF なら LC＝1.0×10⁻⁷ で，f_r＝1/(2π×3.16×10⁻⁴)≒503Hz となり，これより低い周波数では容量性，高い周波数では誘導性です。

【位相の向きの考え方】

電流を基準にすると，Rの電圧は電流と同相，Lの電圧は電流より90°進み，Cの電圧は電流より90°遅れます。容量性（Cの電圧が勝つ）なら回路全体の電圧が電流より遅れる，つまり電流が電圧より進みます。誘導性ならその逆です。位相角は tanφ＝X/R で表され，共振点ではφ＝0（電圧と電流が同相）になります。

【誤りの選択肢の作られ方】

(1)(4)は共振時のインピーダンスを「大きく」としており，並列共振（インピーダンス最大，電源から流れる電流は最小）と取り違えた誤りです。(2)は低い周波数を誘導性としており，Lのリアクタンスが周波数に比例することを逆に覚えた場合の誤りです。(5)は容量性・誘導性の順序は正しいのに，容量性で「遅れた」としており，位相の向きを取り違えた誤りです。直列共振か並列共振か，周波数の上下でどちらが勝つか，勝った側で電流が進むか遅れるかの三点を順に確認すると取り違えを防げます。

【関連する出題パターン】

・L，Cの値から共振周波数f_r＝1/(2π√(LC))を計算する問題

・共振時のLやCの端子電圧が電源電圧のQ倍（Q＝(1/R)√(L/C)）になることを問う問題

・並列共振で電源電流が最小になることを問う問題

いずれも「共振でリアクタンスが0」という本問の考え方が出発点です。