電験三種のコンデンサ静電容量の公式・直列並列・誘電体・静電エネルギーを例題で

結論：電験三種 理論のコンデンサは、公式は5つです。静電容量 Q＝CV と C＝ε0εrS÷d、並列 C＝C1＋C2、直列 1÷C＝1÷C1＋1÷C2、静電エネルギー W＝CV²÷2。この5つに、「電源をつないだままか、切り離したあとか」の見分け（どちらの量が一定か）を組み合わせれば、誘電体の挿入・電極間隔の変更・電荷の分配の問題まで解けます。

電気技術者試験センターの試験科目のページでは、理論の内容が「電気理論、電子理論、電気計測及び電子計測」と示されています（第三種電気主任技術者試験 試験概要）。コンデンサはそのうちの電気理論（静電気）にあたります。理論全体の中での位置づけは電験三種 理論の攻略、公式の一覧は電験3種の公式一覧にあります。交流回路でのコンデンサ（容量リアクタンス）は交流の基本量の記事で扱います。

静電容量とは（Q＝CVと平行平板の公式）

コンデンサは、2枚の電極の間に電荷をためる部品です。電圧V[V]を加えたとき、ためられる電荷Q[C]は電圧に比例し、その比例定数が静電容量C[F]です。

Q＝CV [C]（C＝Q÷V なので、1F＝1C÷1V）

平行な2枚の電極（面積S[m²]、間隔d[m]）の間に、比誘電率εrの物質（誘電体）を入れた平行平板コンデンサの静電容量は次のとおりです。

C＝ε0εr×S÷d [F]

• 面積Sが大きいほど、間隔dが小さいほど、静電容量は大きい（C∝S、C∝1÷d）
• 比誘電率εrの誘電体を電極間に満たすと、静電容量は真空（空気）のときのεr倍になる。空気の比誘電率はほぼ1として扱う
• 電極間の電界は E＝V÷d [V/m]（電界は一様）

単位で見直すと、ε0[F/m]×S[m²]÷d[m]＝[F]となり、式の単位が合います。式を思い出せないときは、この単位の確認で、Sは分子、dは分母と決まります。

コンデンサの直列・並列の合成

並列：各コンデンサに同じ電圧Vが加わるので、電荷は Q1＝C1V、Q2＝C2V です。全体の電荷は Q1＋Q2＝(C1＋C2)V なので、合成静電容量は次のとおりです。

C＝C1＋C2 [F]

直列：各コンデンサに同じ電荷Qがたまり、電圧が分かれて加わります。V1＝Q÷C1、V2＝Q÷C2 で、V＝V1＋V2＝Q×(1÷C1＋1÷C2) なので、次のとおりです。

1÷C＝1÷C1＋1÷C2、2個のときは C＝C1C2÷(C1＋C2) [F]

直列のとき、各コンデンサの電圧は、静電容量に反比例して配分されます（容量の小さいほうに大きい電圧がかかる）。

• V1＝V×C2÷(C1＋C2)、V2＝V×C1÷(C1＋C2)

抵抗の直列・並列の式と、ちょうど逆の形です（コンデンサは容量が「大きいほど電荷をためやすい」ので、並列で足します）。分圧の式は、分子が「もう一方の容量」になります。

例題1（当サイトの計算）：6μFと3μFのコンデンサを直列にして、100Vを加えます。合成容量、各コンデンサの電圧、静電エネルギーを求めます。

• 合成容量：C＝6×3÷(6＋3)＝2μF
• 電荷：Q＝CV＝2×100＝200μC（両方のコンデンサに共通）
• 各電圧：V1＝200÷6≒33.3V、V2＝200÷3≒66.7V。容量の小さい3μFのほうが大きい電圧。V1＋V2＝100Vで合う
• 検算（分圧の式）：V1＝100×3÷(6＋3)≒33.3V、V2＝100×6÷9≒66.7Vで一致
• 静電エネルギー：W＝CV²÷2＝2×10⁻⁶×100²÷2＝10mJ。個別に求めると、6μFが 6×10⁻⁶×33.3²÷2≒3.33mJ、3μFが 3×10⁻⁶×66.7²÷2≒6.67mJ で、合計10mJと一致

誘電体と比誘電率（部分的に入れるときは直列と並列に分ける）

誘電体（絶縁体）を電極の間に入れると、静電容量が増えます。比誘電率εrは、真空のときと比べて静電容量が何倍になるかを表す数（単位なし）です。電極間を誘電体で完全に満たす場合は、C＝εr×C0（C0は誘電体を入れる前の静電容量）です。

電極の間を部分的に満たす場合は、コンデンサを、直列または並列に分けて考えます。

直列の式は、空気層と誘電体層を別々のコンデンサとして1÷C＝1÷C空気＋1÷C誘電体で合成した結果です。図がなくても、「層が電極に平行か、電極に垂直か（間隔いっぱいか）」を読み取れば、直列か並列かが決まります。

例題2（当サイトの計算）：電極の面積S＝100cm²（＝1×10⁻²m²）、間隔d＝2mmの空気の平行平板コンデンサがあります。ε0＝8.85×10⁻¹²F/mとします（問題では値が与えられます）。厚さ1mm、比誘電率4の板を電極に平行に全面に入れたときの静電容量を求めます。

• 入れる前：C0＝ε0S÷d＝8.85×10⁻¹²×1×10⁻²÷(2×10⁻³)＝4.425×10⁻¹¹F＝44.25pF
• 空気の層（間隔1mm）：C空気＝ε0S÷(1×10⁻³)＝88.5pF（C0の2倍）
• 誘電体の層（厚さ1mm、εr＝4）：C誘電体＝4×88.5＝354pF
• 直列の合成：C＝88.5×354÷(88.5＋354)＝70.8pF
• 検算（直列の式）：C＝ε0S÷{(d−t)＋t÷εr}＝8.85×10⁻¹²×10⁻²÷(1×10⁻³＋0.25×10⁻³)＝8.85×10⁻¹⁴÷1.25×10⁻³＝70.8pF で一致
• 目安の確認：板が1mmなので、全面を満たしたとき（4×44.25＝177pF）より小さく、入れる前（44.25pF）より大きい。70.8pFはその間に入っている

静電エネルギー（W＝CV²/2）

コンデンサに電荷をためるとき、電源がした仕事の一部は、コンデンサの中の電界のエネルギー（静電エネルギー）としてたくわえられます。

W＝CV²÷2＝QV÷2＝Q²÷(2C) [J]

3つの形は Q＝CV で互いに書き換えられます。どれを使うかは、問題で「一定の量」が何かで決めます。

• 電圧Vが一定のとき：W＝CV²÷2（CとWが比例）
• 電荷Qが一定のとき：W＝Q²÷(2C)（CとWが反比例）

電荷の分配（つなぎ替えで電荷は保存される）

充電したコンデンサを電源から切り離し、別のコンデンサとつなぐと、電荷の合計は変わりません（電荷保存）。つないだあとの電圧は、全体の電荷÷全体の静電容量で求まります。

• 同じ極性の電極どうし（＋と＋）を並列につなぐ：V＝(Q1＋Q2)÷(C1＋C2)
• 逆の極性の電極どうし（＋と−）を並列につなぐ：V＝(Q1−Q2)÷(C1＋C2)（Q1＞Q2の場合）
• つなぐ前後でエネルギーが等しいとは限らない。電圧が違うコンデンサをつなぐと、電荷が移動する間にエネルギーが失われる（熱や電磁波になる）ので、エネルギーは減る

例題3（当サイトの計算）：4μFのコンデンサを100Vに充電し、電源から切り離して、電荷のない2μFのコンデンサと並列につなぎます。

• つなぐ前の電荷：Q1＝4×100＝400μC、Q2＝0
• つないだあとの電圧：V＝400÷(4＋2)＝66.7V（約66.67V）
• 各コンデンサの電荷：4μFが 4×66.67≒266.7μC、2μFが 2×66.67≒133.3μC で、合計400μC
• エネルギー（前）：4×10⁻⁶×100²÷2＝20mJ
• エネルギー（後）：6×10⁻⁶×66.67²÷2≒13.33mJ。約6.67mJ減る
• 検算（減る分の式）：電荷が0のコンデンサにつないだとき、減る分は ½×{C1C2÷(C1＋C2)}×V²＝½×(4×2÷6)×10⁻⁶×100²≒6.67mJ で一致

2μFのコンデンサを、あらかじめ50Vに充電してあり、逆の極性でつなぐ場合は次のようになります（当サイトの計算）。Q2＝2×50＝100μC なので、V＝(400−100)÷6＝50Vです。エネルギーは、前が 20＋2.5＝22.5mJ、後が 6×10⁻⁶×50²÷2＝7.5mJ で、15mJ減ります。同じ極性でつなぐなら V＝(400＋100)÷6≒83.3V で、エネルギーの減りは約1.67mJです。同じ状態から、つなぎ方で結果が大きく変わることが分かります。

電源をつないだまま・切り離したあと：何が一定かで答えが決まる

誘電体を入れる、電極の間隔を変えるといった問題では、電源をつないだままか、切り離したあとかで、結果が変わります。

例題2の続き（当サイトの計算）：空気のコンデンサC0＝44.25pFに、100Vを加えてから、電極の間を比誘電率4の誘電体で完全に満たします。

• 電源をつないだまま：C＝4×44.25＝177pF、Q＝177×10⁻¹²×100＝17.7nC（前は4.425nC）、W＝½×177×10⁻¹²×100²＝0.885μJ（前は0.221μJ）。電荷もエネルギーも4倍
• 電源を切り離したあと：Q＝4.425nCのまま、V＝Q÷C＝4.425×10⁻⁹÷(177×10⁻¹²)＝25V、W＝½QV＝½×4.425×10⁻⁹×25≒0.0553μJ（前の4分の1）。電圧もエネルギーも4分の1
• 検算：W＝Q²÷(2C)を使っても、Qが同じでCが4倍なので、エネルギーは4分の1。一致

電源を切り離したあとで誘電体を入れると、Qが同じでCが増えるので、エネルギーは減ります。

電験三種 理論での問われ方（出題の型）

電気技術者試験センターが過去の試験問題を公表しているので、問われ方の型を確かめられます。コンデンサの問題には、次のような問われ方の型があります。

選ぶ順番の目安は、①つないだままか切り離したあとか（一定の量を決める）、②並列か直列か、誘電体は直列・並列のどちらに分けるか（部分挿入）、③求めるのが静電容量・電圧・電荷・エネルギーのどれか、です。

静電気の問題を続けて解いて、「一定の量が何か」を最初に確かめる習慣をつけましょう。

間違えやすいポイント

• 直列の合成を、並列の式で足してしまう：直列は1÷C＝1÷C1＋1÷C2 です。2個なら積÷和で、答えは必ず小さいほうより小さくなります（例題1は6と3から2μF）
• 直列の電圧配分を、容量に比例させてしまう：容量の小さいほうに大きい電圧がかかります（反比例）
• 電荷共通と電圧共通を混同する：直列は電荷共通、並列は電圧共通です。式を立てる前に、一言書いておきます
• 電源の接続の有無を読み落とす：「電源をつないだまま」か「切り離したあと」かで、Vが一定かQが一定かが変わります
• 電荷を分配するとき、極性を無視する：逆の極性でつなぐ場合は、電荷を引き算します。符号を書き込んでから足し引きします
• 単位の換算を忘れる：μF・pFはFに直してから代入します。ε0の10⁻¹²の指数を数え間違えやすいので、桁数を最後に目安で確かめます

まとめ

コンデンサは、Q＝CV、C＝ε0εrS÷d、並列は足す・直列は逆数の和、W＝CV²÷2の5つが土台です。誘電体を部分的に入れるときは直列と並列に分け、電荷をつなぎ替えるときは電荷の合計が保存されること、電源をつないだままなら電圧が、切り離したあとなら電荷が一定であることを最初に確かめます。例題の数値は、別の式で検算できます。時間があれば、必ず別の形（W＝CV²÷2とQV÷2など）で確かめましょう。