電験三種 令和7年度上期 理論 問1｜電磁気学（静電界・コンデンサ）

並列に接続しても電荷はなくならない（電荷保存）ことを使います。初めに静電容量Cのコンデンサにある電荷は Q＝CV [C] です。並列に接続すると，この電荷が二つのコンデンサに分かれ，両方の電圧が等しくなります。合成静電容量は C＋2C＝3C なので，接続後の電圧は V'＝Q/(3C)＝CV/(3C)＝V/3 です。全静電エネルギーは W＝(1/2)×3C×(V/3)²＝(1/2)×3C×V²/9＝(1/6)CV² [J] です。正答は(2)です。

電荷保存則でコンデンサの並列接続を解く問題です。

【手順】

①接続前の電荷：Q＝CV（2Cの方は0）

②並列接続後は両端の電圧が等しくなる。合成静電容量 C＋2C＝3C

③電荷は保存されるので V'＝Q/(3C)＝V/3

④全静電エネルギー：W＝(1/2)(3C)(V/3)²＝(1/6)CV²

（検算）W＝Q²/(2×3C)＝(CV)²/(6C)＝(1/6)CV²

【内訳】

Cのコンデンサ：(1/2)C(V/3)²＝(1/18)CV²

2Cのコンデンサ：(1/2)(2C)(V/3)²＝(1/9)CV²

合計：(1/18＋2/18)CV²＝(3/18)CV²＝(1/6)CV²

【誤りの選択肢】

(1)(1/9)CV²：2Cのコンデンサ1個分だけのエネルギー。全体ではない（誤り）

(4)(1/3)CV²：接続前の(1/2)CV²から接続後の(1/6)CV²を引いた「失われたエネルギー」の値（誤り）

(3)(2/9)CV²，(5)(3/8)CV²：電荷保存から求めた値と一致しない（誤り）

「エネルギーが保存されて(1/2)CV²のまま」と考えるのも典型的な誤りで，その値は選択肢にもありません。

コンデンサの並列接続では，電荷は保存されますが静電エネルギーは保存されません。この違いが本問の核心です。

【一般式】

電圧Vに充電したC₁と，充電していないC₂を並列に接続すると

接続後の電圧：V'＝C₁V/(C₁＋C₂)

接続後のエネルギー：W'＝(C₁V)²/(2(C₁＋C₂))＝W₀×C₁/(C₁＋C₂)（W₀＝(1/2)C₁V²）

失われるエネルギー：ΔW＝W₀−W'＝(1/2)×(C₁C₂/(C₁＋C₂))×V²

本問は C₁＝C，C₂＝2C なので

W'＝(1/2)CV²×C/(3C)＝(1/6)CV² → 正答(2)

ΔW＝(1/2)×(2C²/(3C))×V²＝(1/3)CV²

初めのエネルギーの3分の2が失われ，残るのは3分の1です。

【失われたエネルギーはどこへ行くか】

接続の瞬間，二つのコンデンサの電圧差を埋めるように電流が流れ，導線の抵抗でジュール熱になったり，火花や電磁波として放出されたりします。抵抗Rを入れて計算すると，電流 i＝(ΔV/R)e^(−t/τ)（τ＝R×C₁C₂/(C₁＋C₂)）による損失∫i²R dtは，Rの値に関係なく(1/2)×(C₁C₂/(C₁＋C₂))×V²になります。Rは「損失の大きさ」ではなく「放電の速さ」だけを決めます。ΔWの式に現れるC₁C₂/(C₁＋C₂)はC₁とC₂の直列合成容量で，接続時の電流がC₁→C₂と直列の経路を流れることに対応しています。

【数値例】

C＝10 μF，V＝300 Vなら

接続前：W₀＝(1/2)×10×10⁻⁶×300²＝0.45 J

接続後：V'＝100 V，W'＝(1/2)×30×10⁻⁶×100²＝0.15 J＝(1/6)CV²

損失：0.30 J＝(1/3)CV²

【関連論点】

同じ「電荷は保存，エネルギーは減る」構造は，充電済みコンデンサを抵抗で放電させる問題（消費エネルギー＝(1/2)CV²）や，零の状態から直流電源で抵抗を通して充電する問題（電源が送るCV²の半分が抵抗で消費）にも共通します。並列接続の問題では，まず電荷保存で接続後の電圧を求め，次にエネルギーを計算する，という順序を崩さないことが確実な解き方です。