電験三種 令和6年度上期 理論 問12｜電磁気・回路理論

電圧Vで加速された電子の速さを、エネルギーの関係から求める問題です（令和6年度上期 問12）。

電荷eの電子が電位差Vの間を移動すると、電界から eV [J] の仕事を受けます。初速0なので、これがそのまま運動エネルギーになり

(1/2)mv²＝eV …(ｱ)

これをvについて解くと v²＝2eV/m、v＝√(2eV/m) …(ｲ)

(ｱ)eV、(ｲ)√(2eV/m) の組合せで、正答は(2)です。

【電子が得るエネルギー】（令和6年度上期 問12）

電界Eの中で電子が受ける力の大きさは F＝eE [N] です。電極板の間隔をd [m]とすると、陰極から陽極まで移動する間に力がする仕事は

W＝F×d＝eE×d

平等電界では E＝V/d なので

W＝e×(V/d)×d＝eV [J]

となります。初速0で出発しているので、この仕事がすべて運動エネルギーになり

(1/2)mv²＝eV → (ｱ)は eV

【速さを求める】

両辺に2/mを掛けて v²＝2eV/m、正の平方根をとって

v＝√(2eV/m) → (ｲ)は √(2eV/m)

よって正答は(2)です。

【他の組合せの誤り】

・(4)(5)の eE は力[N]であり、エネルギー[J]ではありません。距離dを掛けて初めて仕事 eEd＝eV になります。

・(1)は(ｱ)が eV なのに(ｲ)が √(4eV/m) で、(1/2)mv²＝eV から出る √(2eV/m) と一致しません。

・(3)は(ｱ)を2eVとしていますが、電子1個の電荷はeなので得るエネルギーはeVです。

【単位で確かめる】（令和6年度上期 問12）

eV は [C]×[V]＝[J] でエネルギーの単位、eE は [C]×[V/m]＝[N] で力の単位です。(ｱ)の左辺 (1/2)mv² は [kg]×[m/s]²＝[J] なので、右辺も[J]でなければならず、(4)(5)は単位の段階で除外できます。(ｲ)も √(eV/m) が √([J]/[kg])＝[m/s] となり、速さの単位に合うことが確かめられます。

【速さが電圧だけで決まる理由】

v＝√(2eV/m) には電極の間隔dも電界の強さEも含まれていません。間隔を広げると電界 E＝V/d は弱くなり加速度 a＝eE/m は小さくなりますが、加速される距離が長くなるため、得るエネルギー eV は同じです。運動方程式からも、v²＝2ad＝2(eV/(md))d＝2eV/m となり、エネルギーで求めた結果と一致します。

【電子ボルトとの関係】

電子が1 Vの電位差で加速されて得るエネルギー e×1 [J] を1電子ボルト[eV]といいます。本問の式の eV は、まさに「V [V] で加速された電子のエネルギー」を表しています。電子の質量mは非常に小さいので、それほど高くない電圧でも電子はきわめて大きな速さになります。

【位置エネルギーで見る】

陰極を基準にすると、陽極の電位はVだけ高くなります。負の電荷－eをもつ電子にとっては、陽極側ほど電気的な位置エネルギー（－e×電位）が低いので、電子は陽極へ向かって「落ちる」ように加速され、失った位置エネルギー eV が運動エネルギーに変わります。力学のエネルギー保存則と同じ形で考えられます。

【出題のねらい】

(ｱ)で「エネルギーは電圧と電荷の積」であることを、(ｲ)で式変形の係数を確かめる構成です。(1/2)を払うときに2を2回掛けて4にしたり、(ｱ)のほうに2を掛けて2eVとしたりすると、(1)や(3)を選んでしまいます。同じ考え方は、ブラウン管やX線管、電子顕微鏡などの電子の加速、磁界中での電子の円運動の半径を求める問題（まず v＝√(2eV/m) を求めてから r＝mv/(eB) に代入する）にもそのまま使えます。