電験三種 令和6年度上期 理論 問13｜交流回路

コイルの内部抵抗rとインダクタンスLの「直列回路」を、等価抵抗R_pとLの「並列回路」に置き換える問題です（令和6年度上期 問13）。

直列回路のアドミタンスは Y＝1/(r＋jωL)＝(r－jωL)/{r²＋(ωL)²} です。r≪ωL なら分母は(ωL)²とみなせるので、Y≒r/(ωL)²－j/(ωL)。

並列回路のアドミタンスは 1/R_p－j/(ωL) なので、実部どうしを比べて 1/R_p＝r/(ωL)²、すなわち R_p＝(ωL)²/r です。正答は(3)です。

【方針】（令和6年度上期 問13）

直列回路と並列回路が「等価」とは、同じ電圧をかけたとき同じ電流が流れること、つまりアドミタンスが等しいことです。並列回路はアドミタンスの和で表せるので、直列回路のアドミタンスを実部と虚部に分けて比べます。

【直列回路のアドミタンス】

Y＝1/(r＋jωL)

分母の共役複素数を分子・分母に掛けて

Y＝(r－jωL)/{r²＋(ωL)²}

＝r/{r²＋(ωL)²}－j ωL/{r²＋(ωL)²}

【r≪ωL の近似】

r²＋(ωL)² ≒ (ωL)² とすると

Y≒r/(ωL)²－j/(ωL)

【並列回路と比べる】

図2の R_p と L の並列部分のアドミタンスは Y′＝1/R_p－j/(ωL) です。

虚部：－j/(ωL) で一致（並列のインダクタンスはそのままLでよい）

実部：1/R_p＝r/(ωL)² → R_p＝(ωL)²/r

よって正答は(3)です。

【他の式との区別】

(1) ωL/r はコイルのQ（尖鋭度）で、単位のない比です。抵抗[Ω]にはなりません。

(2) r/(ωL)² は求めたコンダクタンス（1/R_p）そのもので、逆数を取り忘れた形です。

(4) r²/(ωL) は実部の比較から出てこない式です。

(5) r(ωL)² は単位が[Ω³]になり、抵抗を表しません。

【R_pが大きいことの意味】（令和6年度上期 問13）

R_p＝(ωL)²/r は、コイルの抵抗rが小さいほど大きくなります。並列抵抗が大きいほどそこに流れる電流は小さく、損失も小さいので、「直列のrが小さい＝並列のR_pが大きい」という関係は物理的に筋が通っています。コイルのQ＝ωL/r を使うと

R_p＝(ωL)²/r＝Q×ωL＝Q²×r

と書けます。Qが大きいコイルほど、R_pは直列抵抗rのQ²倍という非常に大きな値になります。

なお、R_pはωを含むので、この置き換えは特定の周波数（共振回路なら共振周波数付近）でだけ成り立つ等価変換です。周波数が変われば、同じコイルでもR_pの値は変わります。

【損失の一致で確かめる】

同じ電圧Vをかけたとき、直列回路に流れる電流は I≒V/(ωL)（r≪ωL）なので、損失は

P＝rI²＝rV²/(ωL)²

並列回路の損失は P＝V²/R_p です。両者を等しくおくと R_p＝(ωL)²/r となり、アドミタンスから求めた結果と一致します。

【なぜ並列回路に直すのか】

図1は電流源にコンデンサとコイルが並列につながった並列共振回路です。コイルの損失を並列抵抗R_pに置き換えると、C・R_p・Lがすべて並列になり、共振時（ωC＝1/(ωL)）にはCとLのサセプタンスが打ち消し合って、回路のインピーダンスは R_p だけになります。共振時の端子電圧は V＝I_c×R_p、回路のQは R_p/(ωL) で表せ、並列共振回路の計算が非常に見通しよくなります。この形は、共振時のインピーダンスがコイルの損失で決まることを端的に示しています。

【選択肢の見分け方】

(4) r²/(ωL) は単位こそ[Ω]になりますが、rが小さくなるほど小さくなり、損失が小さいほど並列抵抗が大きくなる性質と逆です。(5) r(ωL)² は単位が[Ω³]で抵抗になりません。単位の確認と「r→0でR_p→∞になるか」の2点で、計算しなくても(3)に絞り込めます。