電験三種 令和6年度上期 理論 問9｜交流回路

基本波と第3高調波を含むひずみ波の電圧・電流から、電力（有効電力）を求める問題です（令和6年度上期 問9）。

ひずみ波の電力は「同じ周波数の電圧と電流の組ごとに求めた電力の和」になります。周波数の違う電圧と電流の組は、平均すると電力を生みません。

基本波：(100/√2)×(20/√2)×cos(π/6)＝1 000×0.866≒866 W

第3高調波：(50/√2)×(10√3/√2)×cos(π/3)＝250√3×0.5≒217 W

合計 約1 083 W≒1.08 kW。正答は(2)です。

【考え方】（令和6年度上期 問9）

ひずみ波交流の有効電力は、各調波ごとに P＝(実効値の電圧)×(実効値の電流)×cosθ を求めて足し合わせます。最大値で書かれているので、実効値は最大値÷√2 です。

【基本波（ωt）】

電圧の最大値 100 V、位相 0

電流の最大値 20 A、位相 －π/6

位相差 θ₁＝0－(－π/6)＝π/6（30°）

P₁＝(100/√2)(20/√2)cos30°＝(100×20/2)×(√3/2)＝1 000×0.866≒866 W

【第3高調波（3ωt）】

電圧の最大値 50 V、位相 －π/6

電流の最大値 10√3 A、位相 ＋π/6

位相差 θ₃＝π/6－(－π/6)＝π/3（60°）

P₃＝(50/√2)(10√3/√2)cos60°＝(50×10√3/2)×(1/2)＝250√3×0.5≒216.5 W

【合計】

P＝P₁＋P₃＝866＋216.5≒1 082.5 W≒1.08 kW

よって正答は(2)です。

【間違えやすい点】

・第3高調波の電流の位相差を考えず cos を掛けないと、P₃＝250√3≒433 W となり、合計は約1 299 W で(4)に近い値になります。電圧の位相 －π/6 と電流の位相 ＋π/6 の差は π/3 です。

・基本波だけで計算すると約0.87 kWで、どの選択肢とも一致しません。

【異なる周波数の積が電力にならない理由】（令和6年度上期 問9）

瞬時電力 p＝ei を展開すると、基本波どうし、第3高調波どうしの積のほかに、「基本波電圧×第3高調波電流」「第3高調波電圧×基本波電流」の積が現れます。sin ωt×sin 3ωt のような積は、和と差の公式で cos 2ωt と cos 4ωt の和になり、1周期で平均すると0になります。同じ周波数どうしの積だけが cosθ の一定成分を残すので、平均電力（有効電力）は各調波の電力の和

P＝Σ VₙIₙcosθₙ

で表されます。

【実効値と力率もあわせて求める】

ひずみ波の実効値は各調波の実効値の2乗和の平方根です。

電圧 V＝√{(100²＋50²)/2}≒79.1 V

電流 I＝√{(20²＋(10√3)²)/2}＝√{(400＋300)/2}≒18.7 A

皮相電力 S＝VI≒79.1×18.7≒1 479 V･A

総合力率 P/S≒1 082.5/1 479≒0.73

となります。ひずみ波では電力をVI×cosθの1つの式でまとめて求めることはできず、各調波を別々に計算する必要があります。

【位相の読み方】

電力に効くのは電圧と電流の「位相差」で、各調波でそれぞれ求めます。第3高調波の式 sin(3ωt－π/6) の －π/6 は、3ωt の目盛での位相です。基本波の位相差（30°）と第3高調波の位相差（60°）は別のもので、基本波の位相差を3倍したり、同じ値を流用したりしないよう、調波ごとに電圧と電流の位相を引き算します。

【計算を簡単にするコツ】

最大値で書かれた式では、(Vm/√2)(Im/√2)＝VmIm/2 なので、「最大値どうしの積の半分×cosθ」で計算すると√2を扱わずに済みます。本問では 100×20/2＝1 000、50×10√3/2＝250√3 で、cos30°＝√3/2、cos60°＝1/2 を掛ければ、P＝500√3＋125√3＝625√3≒1 082.5 W と、きれいな形でまとまります。