単位円とは？三角関数・ラジアンと交流のsin・cos電験三種

結論：単位円とは、半径が1の円のことです。原点から角θだけ回った円周上の点の座標が (cosθ, sinθ) になるので、単位円を見れば、サイン・コサイン・タンジェントの意味、角度が大きくなったときの符号、sin²θ＋cos²θ＝1 が目で確かめられます。電験三種では、この円上を一定の速さで回る点の「高さ」が、交流の瞬時値 v＝Vm sin ωt にあたります。力率 cosθ は、電圧と電流の位相差θの cos です。度（°）とラジアン（rad）は、半円＝180°＝π rad で換算します。

単位円とは：座標が cosθ と sinθ になる円

単位円は、原点を中心とする半径1の円（x²＋y²＝1）です。x軸の正の向きから反時計回りに角θだけ回った円周上の点Pを考えます。

半径が1なので、x座標とy座標が、そのままcosθとsinθの値になります。点Pは円周上にあるので、x²＋y²＝1、つまり次の関係が成り立ちます。

sin²θ＋cos²θ＝1

検算（当サイトの計算）：θ＝30° のとき、0.5²＋0.866²＝0.25＋0.75＝1。θ＝45° のとき、0.707²＋0.707²＝0.5＋0.5＝1。

三角比の定義と、よく使う角度の値の表

直角三角形では、斜辺に対する辺の比として三角比を定義します。角θに対し、斜辺をr、θの向かい側の辺をy、隣の辺をxとすると、sinθ＝y÷r、cosθ＝x÷r、tanθ＝y÷x です。単位円はr＝1の場合にあたり、定義が座標と一致します。

0°から180°までの代表的な角度の値を表にします（当サイトの計算。小数は小数第3位まで）。

覚え方は、30°・45°・60°の3つの三角形の辺の比から作れます。

• 30°・60°・90°の直角三角形：辺の比 1：√3：2
• 45°・45°・90°の直角三角形：辺の比 1：1：√2

たとえば30°では、向かい側が1、斜辺が2、隣が√3 なので、sin30°＝1÷2、cos30°＝√3÷2、tan30°＝1÷√3 です。

検算：tanθ＝sinθ÷cosθ で確かめます。60°：0.866÷0.5＝1.732 で表の√3と一致。120°：0.866÷(−0.5)＝−1.732 で一致。

象限と符号

単位円を4つの区画（象限）に分けると、sin・cosの符号が決まります。

90°を超えた角度の値は、単位円の対称性で、表の鋭角（0〜90°）の値から作れます。

• 180°−θ：sin(180°−θ)＝sinθ、cos(180°−θ)＝−cosθ（例：sin120°＝sin60°＝0.866、cos120°＝−cos60°＝−0.5）
• 180°＋θ：sin(180°＋θ)＝−sinθ、cos(180°＋θ)＝−cosθ（例：sin210°＝−sin30°＝−0.5）
• −θ：sin(−θ)＝−sinθ、cos(−θ)＝cosθ（例：sin(−30°)＝−0.5、cos(−30°)＝0.866）

弧度法：度とラジアンの換算

角度は「度（°）」のほかに、ラジアン（rad）で表せます。弧度法（こどほう）とも呼ばれ、単位円の円周上で測った弧の長さを、そのまま角度とする考え方です。半径が1のとき、角θ[rad]に対する弧の長さはθになります。

円周の長さは2π×半径なので、1周（360°）は 2π rad、半周（180°）は π rad です。

換算式は次のとおりです。

• ラジアン＝度×π÷180
• 度＝ラジアン×180÷π（1 rad＝57.296°）

例（当サイトの計算）：45°をラジアンにすると、45×π÷180＝π÷4＝0.7854 rad。逆に、0.5236 rad を度にすると 0.5236×180÷3.1416＝30.0° です。

検算：π÷6＝3.1416÷6＝0.5236 で、30°の表の値と一致します。

交流の sin と単位円：回る点の高さが瞬時値になる

家庭の電気のような交流の電圧は、v＝Vm sin(ωt) と書けます。この式は、単位円の考え方で次のように読めます。

• 半径Vmの円の上を、点が反時計回りに一定の速さで回る
• 回る速さが 角周波数 ω [rad/s]（1秒間に進む角度）
• 時刻tのときの角度は ωt [rad]
• 点の高さが、その時刻の電圧（瞬時値）v

1周（2π rad）にかかる時間が周期Tなので、ω＝2π÷T＝2πf です（fは周波数）。周波数50 Hzなら、ω＝2π×50＝100π≒314 rad/s、60 Hzなら ω＝120π≒377 rad/s になります。

下の表は、v＝Vm sinθ の値を、30°ごとに最大値Vmに対する割合で示したものです（サインカーブの値の表。当サイトの計算）。

0°から上がって90°で最大、180°で0に戻り、270°で最小（−Vm）になる波形が、サインカーブです。

例題（当サイトの作例）：e＝100√2 sin(100πt) [V] の電圧がある。t＝1/600 s のときの瞬時値は何Vか。

• 解き方1（角度から）：ωt＝100π×(1/600)＝π/6＝30°。e＝100√2×sin30°＝141.4×0.5＝70.7 V
• 解き方2（周期から）：周波数 f＝100π÷2π＝50 Hz、周期 T＝1÷50＝0.02 s。1/600 s は 0.02 s の1/12 で、360°×(1/12)＝30° と一致。sin30°＝0.5 で、e＝70.7 V

最大値は 100√2＝141.4 V、実効値は100 Vです。波形の量（最大値・実効値・位相など）は電験3種の交流の基本で詳しく整理しています。

sin と cos のずれ：cosθ＝sin(θ＋90°)

cosθのグラフは、sinθのグラフを90°（π/2 rad）左へずらした形です。式で書くと cosθ＝sin(θ＋90°) です。単位円では、点が90°先にいるとき、その高さ（sin）が現在のx座標（cos）と同じ値になる、と読めます。

（θ＋90°が 90°・120°・150°・180° のときの sin は、1・0.866・0.5・0 で、上の cosθ の行と一致します。当サイトの計算）

位相の考え方（進み・遅れ）は、電圧と電流の関係で重要になります。

例（当サイトの作例）：v＝100 sin ωt [V] に対して i＝5 cos ωt [A] のとき、cos ωt＝sin(ωt＋90°) なので、電流は電圧より90°進んでいます。90°進みはコンデンサの特徴です。最大値の比から、容量性リアクタンスの大きさは 100÷5＝20 Ω と分かります。

進み・遅れの図の描き方は、電験3種のベクトル図で手順を示しています。

力率 cosθ と三角形：有効電力・無効電力・皮相電力

交流回路で、電圧と電流の位相差をθとすると、力率は cosθ です。電力の三角形（直角三角形）で、斜辺が皮相電力S [V·A]、底辺が有効電力P [W]、高さが無効電力Q [var] になります。

例題（当サイトの作例）：力率0.8（遅れ）の負荷が、有効電力8 kWを消費している。皮相電力と無効電力を求めよ。

• 解き方1（三角比から）：S＝P÷cosθ＝8÷0.8＝10 kV·A。sinθ＝√(1−0.8²)＝√0.36＝0.6 なので、Q＝S sinθ＝10×0.6＝6 kvar
• 解き方2（三平方の定理から）：S＝10 kV·A とすると、Q＝√(S²−P²)＝√(100−64)＝√36＝6 kvar で一致

検算：P²＋Q²＝64＋36＝100＝S² で、斜辺と2辺が整合します。tanθ＝Q÷P＝6÷8＝0.75 で、sinθ÷cosθ＝0.6÷0.8＝0.75 とも一致。この三角形は辺の比が 3：4：5 で、cosθ＝0.8 のとき角θは約36.9°です。

力率が0.6なら、sinθ＝√(1−0.36)＝0.8 です。力率cosθと sinθ は、sin²θ＋cos²θ＝1 で必ず入れ替えて使えます。

電験三種での出題の型

関数電卓が使えない試験なので、sin・cosの値は代表角（30°・45°・60°など）の値から組み立てる形で使います。公表された問題冊子から、三角関数・位相・力率が関わる出題の例を、問題文の引用は避けて整理します。

出典：令和7年度上期 理論、令和6年度上期 理論、令和6年度下期 電力、令和7年度下期 電力（電気技術者試験センター）。

試験で使える電卓は、電気技術者試験センターの試験概要によると、四則演算と開平計算（√）のものだけで、関数電卓は使えません。sin・cosのキーに頼らず、単位円の対称性で値を作る練習が有効です。三角関数以外の数学（連立方程式・複素数・2進数）は、電験三種の数学レベルにまとめています。

間違えやすいポイント

• cosとsinの取り違え：x座標がcos、y座標がsinです。「横がコサイン、縦がサイン」と、座標の順番（x, y）と、cos・sinの順番を結びつけると覚えやすくなります。
• 度とラジアンを混ぜて代入する：ωt はラジアンです。ωt＝100π×(1/600)＝π/6 を「30」と読み間違えたり、ラジアンの値に度の公式を使ったりしないよう、必ず単位を書き添えます。
• cos120°を+0.5と書く：第2象限（90°〜180°）では cos が負です。cos120°＝−cos60°＝−0.5。
• tan90°を計算してしまう：90°では cosが0なので、tanθ＝sinθ÷cosθ の分母が0になり、値は決まりません。
• 力率と位相差の関係をあいまいにする：力率は cosθ（位相差θのcos）で、sinθ ではありません。力率0.8なら位相差は約36.9°、sinθは0.6です。
• 有効電力・無効電力を取り違える：P＝S cosθ（底辺）、Q＝S sinθ（高さ）です。
• 「進み」「遅れ」を式の符号から逆に読む：ωt＋φ の φ が正なら、基準より φ だけ進んでいます（先に山が来る）。i＝I sin(ωt−90°) はコイルの遅れ電流です。

まとめ

• 単位円は半径1の円。円周上の点の座標が (cosθ, sinθ) で、tanθ＝sinθ÷cosθ、sin²θ＋cos²θ＝1 が成り立ちます
• 0°・30°・45°・60°・90° の値（0、1/2、1/√2、√3/2、1）を表で覚え、90°を超える角度は象限の符号と対称性で作ります
• 度とラジアンは 180°＝π rad で換算。1 rad＝約57.3°、周期が1周で2π rad、ω＝2πf です
• 交流の瞬時値 v＝Vm sin(ωt＋φ) は、半径Vmの円を回る点の高さです。cosθ＝sin(θ＋90°) で、sinとcosは90°ずれた同じ形の波です
• 力率 cosθ は位相差θのcos。P＝S cosθ、Q＝S sinθ、S＝√(P²＋Q²) の三角形で、力率0.8なら sinθ＝0.6 になります
• 関数電卓は使えないので、代表角の値と対称性を手で使えるようにしておきます

対数や指数（過渡現象の e^(−t/τ)、デシベル）は、電験三種の対数・指数の記事で整理しています。