電験三種 令和5年度上期 理論 問9｜交流回路

RL直列回路の力率を，抵抗とリアクタンスの比から求める問題です（令和5年度上期 問9）。

R/X_L＝1/√2 なので，R＝1，X_L＝√2 とおいて考えられます。インピーダンスは

Z＝√(R²＋X_L²)＝√(1＋2)＝√3

力率は cosφ＝R/Z＝1/√3≒0.577 で，最も近いのは0.58です。

R/X_Lの値1/√2≒0.71をそのまま力率と考えないことがポイントです。正答は(3)です。

【力率の式】

直列回路の力率は，インピーダンス三角形の底辺Rと斜辺Zの比です。

cosφ＝R/Z＝R/√(R²＋X_L²)

【比だけで解く】

R/X_L＝1/√2 より X_L＝√2R。これを代入すると

Z＝√(R²＋(√2R)²)＝√(3R²)＝√3R

cosφ＝R/(√3R)＝1/√3≒0.577

【別の形での確認】

分母分子をX_Lで割ると

cosφ＝(R/X_L)/√((R/X_L)²＋1)＝(1/√2)/√(1/2＋1)＝(1/√2)/√(3/2)＝1/√3

同じく約0.58です。

【誤りの選択肢】

(4)の0.71は R/X_L＝1/√2≒0.71 そのもので，比と力率を取り違えたときの値です。R/X_L は tanφ の逆数（1/tanφ）であって，cosφではありません。(5)の0.87は √3/2（φ＝30°の力率）で，本問のφとは異なります。

【ポイント】

力率は「R÷Z」で，「R÷X_L」ではありません。比が与えられたら，R＝1などと置いて三辺を具体的な数にし，インピーダンス三角形を描いてから比をとると取り違えを防げます。

正答は(3)です。

【インピーダンス三角形で考える】

RL直列回路では，横にR，縦にX_L，斜辺にZをとった直角三角形（インピーダンス三角形）ができます。力率角φは底辺Rと斜辺Zのなす角で，

cosφ＝R/Z，sinφ＝X_L/Z，tanφ＝X_L/R

です。本問は tanφ＝X_L/R＝√2 が与えられたことになり，三角形の辺の比は R：X_L：Z＝1：√2：√3 です。

cosφ＝1/√3≒0.577，sinφ＝√2/√3≒0.816，φ≒54.7° となります。

【tanφからcosφを求める公式】

1＋tan²φ＝1/cos²φ より

cosφ＝1/√(1＋tan²φ)＝1/√(1＋2)＝1/√3

比が与えられた問題では，この関係を使うと実際の値を仮定せずに一度で計算できます。

【よく出る比と力率の対応】

・R：X＝1：1 → Z＝√2，cosφ＝1/√2≒0.71（φ＝45°）

・R：X＝√3：1 → Z＝2，cosφ＝√3/2≒0.87（φ＝30°）

・R：X＝1：√3 → Z＝2，cosφ＝0.5（φ＝60°）

・R：X＝1：√2 → Z＝√3，cosφ≒0.58（本問）

選択肢の0.50，0.71，0.87は，有名な角度（60°，45°，30°）の力率です。本問の比はこれらと違うので，三角形を描いて確かめずに「見覚えのある値」を選ぶと誤ります。

【電力との関係】

電源電圧をEとすると，電流は I＝E/Z＝E/(√3R)，有効電力は P＝I²R＝E²/(3R)，皮相電力は S＝EI＝E²/(√3R) です。P/S＝1/√3 となり，力率の定義（有効電力÷皮相電力）とも一致します。

【関連する出題パターン】

・RC直列回路（進み力率）で同じように比から力率を求める問題

・RL並列回路の力率（並列では cosφ＝X/√(R²＋X²) と，直列とは形が変わる）

・力率改善のためにコンデンサを並列に入れる問題

直列と並列で力率の式が入れ替わることに注意します。