電験三種 令和5年度上期 理論 問1｜電磁気学（静電界・コンデンサ）

誘電体の異なる2つの平行平板コンデンサを並列につないだときの電界・電束密度・電荷を問う問題です（令和5年度上期 問1）。

並列なので，どちらのコンデンサにも同じ電圧V₀がかかります。間隔はどちらもdなので，電界は E₁＝E₂＝V₀/d で，誘電体によりません（(ｱ)）。

電束密度は D＝εE なので D₁＝ε₀ε_r1V₀/d，D₂＝ε₀ε_r2V₀/d です（(ｲ)）。電荷は電束密度に面積を掛けて Q₁＝ε₀ε_r1SV₀/d，Q₂＝ε₀ε_r2SV₀/d です（(ｳ)）。正答は(4)です。

【(ｱ) 電界の強さ】

並列接続なので，C₁にもC₂にも電圧V₀がかかります。平行平板の極板間の電界は一様で，電圧を間隔で割ったものです。

E₁＝V₀/d，E₂＝V₀/d

電界は電圧と間隔だけで決まり，比誘電率は入りません。

【(ｲ) 電束密度】

誘電率ε＝ε₀ε_r の誘電体中では D＝εE なので

D₁＝ε₀ε_r1V₀/d，D₂＝ε₀ε_r2V₀/d

単位は[C/m²]で，面積Sは含みません。

【(ｳ) 電荷】

極板上の電荷密度は電束密度に等しいので，電荷は Q＝DS です。

Q₁＝ε₀ε_r1SV₀/d，Q₂＝ε₀ε_r2SV₀/d

静電容量 C₁＝ε₀ε_r1S/d と Q＝CV₀ から求めても同じ結果になります。

【誤りの選択肢】

(1)(2)の(ｱ)は電界に比誘電率を掛けていて誤りです。(1)の(ｲ)はε₀がなくSが入っていて，単位が[C/m²]になりません。(3)の(ｲ)は電束密度にSが入っていて単位が[C]になってしまいます。(3)の(ｳ)はSがなく単位が[C/m²]です。(5)の(ｱ)はE＝ε₀ε_rSV₀/dと電荷の式になっていて誤りで，(ｳ)にもε_rが入っていません。(ｱ)(ｲ)(ｳ)すべてが正しいのは(4)です。

正答は(4)です。

【電圧が同じなら電界は誘電体によらない】

平行平板コンデンサでは，極板間の電位差V₀と間隔dが決まれば E＝V₀/d で電界が決まります。誘電体を入れると電界が弱くなる，という説明をよく見かけますが，それは「電荷Qを一定に保ったまま」誘電体を入れた場合です。本問のように電源につないで電圧を一定に保つ場合は，電界は変わらず，代わりに電源から電荷が供給されて電束密度と電荷がε_r倍に増えます。電圧一定か電荷一定かを最初に確認するのがこの分野の基本です。

【単位で選択肢を絞る】

組合せの式問題では，単位の確認が強力です。

・E[V/m]＝V₀[V]/d[m] なので，ε₀やSが入ると単位が合いません（ε_rは無次元なので単位では判別できず，物理的に考えます）。

・D[C/m²]＝ε₀[F/m]×V₀[V]/d[m]＝[F·V/m²]＝[C/m²] で，Sが入ると[C]になります。

・Q[C]＝ε₀[F/m]×S[m²]×V₀[V]/d[m]＝[F·V]＝[C] で，Sがなければ[C/m²]です。

この確認だけで(1)と(3)の(ｲ)，(3)の(ｳ)，(5)の(ｱ)が除外できます。残る(2)と(4)は，(ｱ)に比誘電率を掛けるかどうかの違いで，上の「電圧が同じなら電界は誘電体によらない」から(4)に決まります。

【ガウスの法則とのつながり】

極板の電荷密度σと電束密度Dは等しく（D＝σ），これはガウスの法則で極板を囲む閉曲面を考えると導けます。D＝σ＝Q/S から Q＝DS となり，電束密度に面積を掛けると電荷になります。

【並列コンデンサの合成】

二つの電荷を合わせると Q₁＋Q₂＝ε₀(ε_r1＋ε_r2)SV₀/d で，合成静電容量は C₁＋C₂＝ε₀(ε_r1＋ε_r2)S/d です。並列では電圧が共通で電荷が和になるので，静電容量も和になります。極板の間に誘電率の異なる誘電体を左右に並べて挟んだコンデンサも，同じように並列として扱えます。

【関連する出題パターン】

・誘電体を上下に重ねて挟んだコンデンサ（直列）の各層の電界を求める問題（電束密度が共通になる）

・電荷一定で誘電体を挿入したときの電界・電圧の変化を問う問題

・並列・直列のコンデンサに蓄えられるエネルギーを比べる問題

並列は「電界が共通」，直列は「電束密度が共通」と整理しておくと判断が速くなります。