電験三種 令和4年度下期 理論 問8｜交流回路

波形率と波高率の定義と，波形による値の違いを問う問題です（令和4年度下期 問8）。

波形率＝実効値/平均値，波高率＝最大値/実効値 です（(ｱ)平均値，(ｴ)最大値）。

正弦波は波形率約1.11，波高率約1.41です。とがった三角波は波形率約1.15，波高率約1.73でどちらも大きく，平らな方形波は波形率・波高率とも1で小さくなります。

よって(ｲ)(ｵ)は「大きく」，(ｳ)(ｶ)は「小さく」です。正答は(1)です。

【定義（(ｱ)(ｴ)）】

波形率＝実効値/平均値，波高率＝最大値/実効値

どちらも1以上の値になり，「とがり具合」を表します。(ｱ)は平均値，(ｴ)は最大値です。

【三つの波形の値（最大値をV_mとする）】

正弦波：実効値 V_m/√2，平均値 2V_m/π

　波形率＝(V_m/√2)/(2V_m/π)＝π/(2√2)≒1.11，波高率＝√2≒1.41

三角波：実効値 V_m/√3，平均値 V_m/2

　波形率＝2/√3≒1.15，波高率＝√3≒1.73

方形波：実効値 V_m，平均値 V_m

　波形率＝1，波高率＝1

【(ｲ)(ｳ)(ｵ)(ｶ)】

とがった三角波は正弦波より波形率（1.15＞1.11）も波高率（1.73＞1.41）も大きくなります。平らな方形波はどちらも1で，正弦波より小さくなります。(ｲ)大きく，(ｳ)小さく，(ｵ)大きく，(ｶ)小さく です。

【誤りの選択肢】

(2)(4)(5)は(ｱ)と(ｴ)の平均値・最大値を入れ替えています。(3)は定義は正しいものの，大小関係がすべて逆です。

正答は(1)です。

【なぜとがった波形ほど値が大きくなるのか】

実効値は二乗平均の平方根なので，大きな値の部分ほど強く効きます。とがった波形では，最大値付近の短い時間が実効値を押し上げる一方，平均値は低いままです。そのため 実効値/平均値（波形率）が大きくなります。また，とがった波形は最大値に比べて「平均的な大きさ」が小さいので，最大値/実効値（波高率）も大きくなります。逆に方形波は常に最大値と同じ大きさなので，最大値・実効値・平均値がすべて等しく，両方とも1になります。

【三角波の実効値と平均値の求め方】

三角波は0からV_mまで直線的に増える区間（1/4周期）の繰り返しと同じ値になるので，その区間の長さをTとして v＝V_m·t/T（0≦t≦T）を考えます。

平均値＝(1/T)∫v dt＝V_m/2

実効値＝√{(1/T)∫v² dt}＝√(V_m²/3)＝V_m/√3

これより波形率 (V_m/√3)/(V_m/2)＝2/√3，波高率 V_m/(V_m/√3)＝√3 が得られます。

【測定器との関係】

可動コイル形計器に整流器を組み合わせた整流形計器は，平均値に応答し，目盛は正弦波の波形率1.11を掛けて実効値で表示しています。そのため，三角波やひずんだ波形を測ると，波形率の違いの分だけ指示が実効値からずれます。波高率は，最大値に対する絶縁の余裕や，計測器の入力範囲を考えるときに使われます。

【誤りの選択肢の作られ方】

定義の分母・分子を取り違える誤りと，「とがっている＝値が小さい」と逆に覚える誤りの二通りを組み合わせて選択肢が作られています。定義は「波形率は実効値が分子，波高率は実効値が分母」と覚え，大小は正弦波・三角波・方形波の数値で確認すると確実です。

【関連する出題パターン】

・半波整流波や全波整流波の平均値・実効値・波形率を求める問題

・整流形計器で正弦波以外の波形を測ったときの指示値を求める問題

・ひずみ波の実効値を各高調波の実効値から求める問題