電験三種 令和4年度下期 理論 問9｜電磁気学（静電界・コンデンサ）

抵抗とコンデンサの直列枝が二つ並列になった交流回路で，電源電圧と消費電力を求める問題です（令和4年度下期 問9）。

左の枝では，6Ωのコンデンサに12Vかかっているので電流は 12/6＝2A です。この枝のインピーダンスは √(8²＋6²)＝10Ω なので，電源電圧は E＝2×10＝20V です。

右の枝のインピーダンスは √(4²＋3²)＝5Ω なので電流は 20/5＝4A です。電力を消費するのは抵抗だけなので

P＝2²×8＋4²×4＝32＋64＝96W

正答は(2)です。

【左の枝（8Ωと6Ω）】

コンデンサの電圧12V，容量性リアクタンス6Ωより，枝の電流は

I₁＝12/6＝2A

枝のインピーダンスは Z₁＝√(8²＋6²)＝10Ω

二つの枝は並列で，どちらにも電源電圧Eがかかるので

E＝I₁Z₁＝2×10＝20V

【右の枝（4Ωと3Ω）】

Z₂＝√(4²＋3²)＝5Ω

I₂＝E/Z₂＝20/5＝4A

【消費電力】

コンデンサは電力を消費しないので，抵抗の消費電力だけを足します。

P＝I₁²×8＋I₂²×4＝2²×8＋4²×4＝32＋64＝96W

【位相の確認】

二つの枝はどちらも 抵抗：リアクタンス＝4：3 で，電流は電源電圧よりそれぞれ同じ角度だけ進みます。位相がそろっているので，電源電流は 2＋4＝6A になります。

【誤りの選択肢】

(1)の32Wは左の枝の8Ωだけの電力で，右の枝の分が抜けています。(3)(4)のE＝28Vは，8Ωの電圧 2×8＝16V とコンデンサの電圧12Vを位相を考えずに足した値と一致します。抵抗とコンデンサの電圧は位相が90°ずれているので，大きさは √(16²＋12²)＝20V と合成しなければなりません。

正答は(2)です。

【電圧のベクトル図で考える】

左の枝では，電流I₁を基準にすると，8Ωの電圧16Vは電流と同相，コンデンサの電圧12Vは電流より90°遅れます。二つは直角をなすので，合成した電源電圧は

E＝√(16²＋12²)＝20V

で，3：4：5の直角三角形になっています。同じように右の枝も 4：3：5 の形で，Z₂＝5Ω です。電験三種では，このような整数の直角三角形になる数値がよく使われるので，気付くと計算が速くなります。

【皮相電力・無効電力まで求めると】

左の枝：有効電力 2²×8＝32W，無効電力 2²×6＝24var

右の枝：有効電力 4²×4＝64W，無効電力 4²×3＝48var

合計：P＝96W，Q＝72var（どちらも容量性）

皮相電力は S＝√(96²＋72²)＝120V·A で，電源から見た電流は S/E＝120/20＝6A，力率は 96/120＝0.8（進み）です。電源電流6Aは，二つの枝電流2Aと4Aの位相がそろっている（どちらも力率0.8で同じ位相角）ため単純な和になっています。

【並列枝の電力を求める別の方法】

二つの枝の電流は位相が同じなので，電源電流 I＝6A に対して合成インピーダンスは 20/6≒3.33Ω です。合成の抵抗分は Z×0.8＝(10/3)×0.8≒2.67Ω となり，P＝6²×2.67≒96W と同じ値になります。ただし一般には枝ごとの位相が異なるので，枝ごとに I²R を求めて足す方法が確実です。

【関連する出題パターン】

・RL・RC直列枝の並列回路で電源電流や力率を求める問題

・一部の素子の電圧や電流から，回路全体の電圧・電力を逆算する問題

・有効電力・無効電力・皮相電力の関係 S²＝P²＋Q² を使う問題

いずれも「電力を消費するのは抵抗だけ」「直列の電圧は位相を考えて合成する」の二点が要になります。