電験三種 令和4年度下期 理論 問10｜電磁気・回路理論

回路は，1 V の電池から 1 Ω の抵抗と 1 H のコイルを通った点に，スイッチ S と「1 F のコンデンサ＋1 Ω の抵抗」が並列につながっています。

閉じる前は直流の定常状態なので，コンデンサは電流を通さず，回路の電流は 0 A，コンデンサは 1 V に充電されています。

S を閉じると，①電池側にはコイルの電流 1 − e⁻ᵗ が流れ始め，②コンデンサは 1 Ω を通して放電し，e⁻ᵗ の電流が S を同じ向きに流れます。

二つの和は (1 − e⁻ᵗ) + e⁻ᵗ = 1 A で，t = 0 の直後からずっと 1 A のままです。正答は(5)です。

【閉じる直前（t = 0⁻）】

直流定常状態ではコンデンサに電流は流れないので，回路の電流は 0 A です。抵抗にもコイルにも電圧降下がなく，コンデンサの電圧は電源と同じ 1 V です。コイルの電流 i_L(0⁻) = 0 A。

【閉じた後（t ≥ 0）】

S を閉じると，S の上端の点が下側の線と同じ電位になり，回路は二つの独立なループに分かれます。

・電源側ループ（1 V − 1 Ω − 1 H − S）：時定数 τ_L = L/R = 1/1 = 1 s

　i_L(t) = (1/1)(1 − e^{−t/1}) = 1 − e⁻ᵗ [A]（コイルの電流は急に変われないので 0 から増える）

・コンデンサ側ループ（1 F − 1 Ω − S）：時定数 τ_C = CR = 1 × 1 = 1 s

　放電電流 i_C(t) = (1 V/1 Ω) e⁻ᵗ = e⁻ᵗ [A]（S を i_S と同じ下向きに流れる）

【S の電流】

i_S = i_L + i_C = (1 − e⁻ᵗ) + e⁻ᵗ = 1 A（一定）

t = 0 で 0 A から 1 A に跳び上がり，そのまま一定です。正答は(5)です。

【誤りの選択肢】

(2) はコイル側の電流 i_L だけを描いたもので，コンデンサの放電電流を忘れています。

(4) のような行き過ぎは LC の振動を考えた形ですが，S を閉じると L 側と C 側は別々のループになり，LC の共振は起きません。

【時定数が等しいことがこの問題の核心】

一般に，電源側の抵抗を R₁，コンデンサ側の抵抗を R₂ とし，閉じる直前のコンデンサ電圧を E とすると

i_S(t) = (E/R₁)(1 − e^{−t/τ_L}) + (E/R₂)e^{−t/τ_C}，τ_L = L/R₁，τ_C = CR₂

本問では E/R₁ = E/R₂ = 1 A で，さらに τ_L = τ_C = 1 s なので，増える分と減る分が各時刻でちょうど打ち消し合い，i_S は一定になります。

【他の波形になる条件（各選択肢の意味）】

i_S − 1 = e^{−t/τ_C} − e^{−t/τ_L}（初期値が同じ 1 A の場合）

・τ_C < τ_L（コンデンサの放電の方が速い）：t > 0 で i_S − 1 < 0 → いったん 1 A を下回る (1) の形

・τ_C > τ_L（コイル電流の立ち上がりの方が速い）：i_S − 1 > 0 → いったん 1 A を上回る (3) の形

・コンデンサが充電されていない，または放電電流を考えない：i_S = i_L で 0 から単調増加する (2) の形

(4) は 0 から始まって行き過ぎる形で，RLC 直列回路の不足減衰のような応答ですが，本問の回路は S によって L と C が切り離されるので，この形にはなりません。

【初期値・最終値だけで絞り込む方法】

・t = 0⁺：コイルの電流は 0 のまま，コンデンサの電圧は 1 V のまま（ともに急変しない）なので，i_S(0⁺) = 0 + 1/1 = 1 A → 0 A から始まる (2)(4) は除外

・t → ∞：コイルは短絡，コンデンサは放電し終わり電流 0 → i_S(∞) = 1/1 = 1 A

残る (1)(3)(5) の区別は時定数の比較で決まり，τ_L = τ_C なので (5) です。

【電流の向きの確認】

閉じる前，コンデンサの左側の極板は電源側の点と同じ +1 V，右側の極板は 1 Ω を通して下の線（0 V）とつながっています。S を閉じて電源側の点が 0 V になると，左側の極板の正電荷は S を通って下へ流れ，1 Ω を通って右側の極板へ戻ります。したがって放電電流は S をコイル電流と同じ下向きに流れ，二つの電流は足し合わされます。

【学習の要点】

過渡現象では「コイルの電流」と「コンデンサの電圧」が急変しないことを使って t = 0⁺ の値を決め，定常値と時定数で波形をつなぎます。スイッチが回路を二つのループに分けるときは，ループごとに別々に解いてから重ね合わせると見通しよく解けます。