電験三種 令和4年度下期 理論 問5｜直流回路

ブリッジ回路と3Ωを直列にした回路で，電源電圧を求める問題です（令和4年度下期 問5）。

ブリッジの向かい合う辺の積を比べると 4×10＝40，5×8＝40 で等しいので，ブリッジは平衡しており，12Ωには電流が流れません。12Ωを取り除くと，ブリッジ部分は (4＋5)Ωと(8＋10)Ωの並列で 9×18/(9＋18)＝6Ω です。

3Ωの電流は 1.8/3＝0.6A なので，E＝0.6×(6＋3)＝5.4V です。正答は(3)です。

【ブリッジの平衡の確認】

4Ωと5Ωの接続点をT，8Ωと10Ωの接続点をBとします。向かい合う辺の積は

4×10＝40，5×8＝40

で等しいので，ブリッジは平衡し，TとBは同電位です。12Ωには電流が流れないので，取り除いて考えられます。

【ブリッジ部分の合成抵抗】

上側：4＋5＝9Ω，下側：8＋10＝18Ω

並列：9×18/(9＋18)＝162/27＝6Ω

【電源電圧】

3Ωの電流は I＝1.8/3＝0.6A で，この電流がブリッジ部分にも流れます。回路全体の抵抗は 6＋3＝9Ω なので

E＝0.6×9＝5.4V

【平衡の確かめ】

ブリッジ部分の電圧は 0.6×6＝3.6V で，上側に 3.6/9＝0.4A，下側に 3.6/18＝0.2A が流れます。4Ωの電圧は 0.4×4＝1.6V，8Ωの電圧は 0.2×8＝1.6V で等しいので，TとBは同電位であり，12Ωに電流が流れないことが確かめられます。

【誤りの選択肢】

(1)1.8Vは3Ωの電圧だけ，(2)3.6Vはブリッジ部分の電圧 0.6×6＝3.6V だけで，電源電圧は両者の和 1.8＋3.6＝5.4V になります。

正答は(3)です。

【平衡条件の意味】

平衡条件「向かい合う辺の積が等しい」は，4：5＝8：10 と書き直すと，上側と下側で電圧が同じ比率で分かれることを表します。上側の経路では電圧が4：5に，下側でも8：10＝4：5に分かれるので，点Tと点Bは左の節点から見て同じ割合だけ電圧が下がった位置にあり，同電位になります。電位差がなければ12Ωの値にかかわらず電流は流れません。

【各部の電流と電圧を確かめる】

ブリッジ部分の電圧は 0.6×6＝3.6V です。

上側の電流：3.6/9＝0.4A，4Ωの電圧1.6V，5Ωの電圧2.0V

下側の電流：3.6/18＝0.2A，8Ωの電圧1.6V，10Ωの電圧2.0V

4Ωと8Ωの電圧がどちらも1.6Vなので，TとBは同電位であることが数値でも確かめられます。上下の電流の和は 0.4＋0.2＝0.6A で，3Ωの電流と一致します。

【平衡していない場合】

向かい合う辺の積が等しくないときは，12Ωにも電流が流れ，単純な直並列では解けません。その場合は，Δ－Y変換で三角形部分を星形に置き換える方法，節点の電位を未知数にしてキルヒホッフの法則を立てる方法，テブナンの定理を使う方法などで解きます。ブリッジの問題では，まず平衡条件を確かめるのが定石で，平衡していれば計算が大きく省けます。

【検算の方法】

最終的に E＝5.4V から逆に全電流 5.4/9＝0.6A，3Ωの電圧 0.6×3＝1.8V と戻ると，問題の条件に一致します。答えを出したら与えられた条件に戻して確かめると，計算の誤りに気付きやすくなります。

【関連する出題パターン】

・ブリッジが平衡する未知抵抗の値を求める問題

・平衡していないブリッジの中央の抵抗に流れる電流を求める問題

・ホイートストンブリッジによる抵抗測定の原理を問う問題

いずれも，向かい合う辺の積の比較から始めると見通しがよくなります。