電験三種 令和4年度下期 理論 問4｜電磁気・回路理論

正三角形に並んだ3本の平行導体に同じ向きの電流を流したとき，1本の導体が受ける力を求める問題です（令和4年度下期 問4）。

まず2本の間の力は，与えられた式から

F＝(2×7²/0.1)×10⁻⁷＝9.80×10⁻⁵N/m

同じ向きの電流なので，互いに引き合う力です。1本の導体は残り2本からこの大きさの力を受け，二つの力の向きは60°開いています。合力は 2F cos30°＝√3F＝√3×9.80×10⁻⁵≒1.70×10⁻⁴N/m です。正答は(3)です。

【2本の導体間の力】

r＝10cm＝0.1m，I＝7A を与えられた式に代入します。

F＝(2×7²/0.1)×10⁻⁷＝(98/0.1)×10⁻⁷＝980×10⁻⁷＝9.80×10⁻⁵N/m

電流が同じ向きなので，この力は吸引力です。

【1本の導体に働く合力】

例えば上の頂点の導体は，左下と右下の導体から，それぞれの導体の方へ引かれます。二つの力の大きさはどちらもFで，向きは正三角形の辺に沿っているので，なす角は60°です。

大きさが等しく60°をなす二つの力の合力は，それぞれの力が二等分線（三角形の重心の方向）となす角が30°なので

F₀＝2F cos30°＝√3F＝1.732×9.80×10⁻⁵≒1.70×10⁻⁴N/m

向きは三角形の中心に向かう向きです。

【誤りの選択肢】

(2)は2本の間の力Fそのもので，もう1本の分が入っていません。(4)の1.96×10⁻⁴は 2F で，二つの力の向きを考えずに大きさを足したものです。(5)の2.94×10⁻⁴は 3F です。(1)の0は，3本が対称に並んでいるので力が打ち消し合うと考えた場合ですが，各導体の位置から見ると二つの力は同じ側（中心側）を向くので打ち消し合いません。

正答は(3)です。

【与えられた式の出どころ】

問題の式 F＝(2I²/r)×10⁻⁷ は，平行導体間の力の一般式 F＝μ₀I₁I₂/(2πr) に μ₀＝4π×10⁻⁷H/m を代入したものです。

μ₀I²/(2πr)＝(4π×10⁻⁷×I²)/(2πr)＝(2I²/r)×10⁻⁷

試験では式が与えられることが多いですが，導出を知っていれば電流が異なる場合（I₁I₂）にも対応できます。

【力の向きの確認】

同じ向きの電流どうしは引き合い，逆向きの電流どうしは反発します。本問の3本は同じ向きなので，各導体は他の2本の方へ引かれ，合力は三角形の中心向きになります。3本すべてが中心に引かれるので，3本の合力のベクトル和は0ですが，それは系全体の話で，1本ずつに働く力は0ではありません。(1)はこの二つを混同させる選択肢です。

【ベクトルの合成を成分で確かめる】

上の頂点の導体を基準に，左下の導体へ向かう力は鉛直下向きから左へ30°，右下の導体へ向かう力は右へ30°傾いています。水平成分は F sin30° が左右で打ち消し合い，鉛直成分は F cos30° が二つ足されて 2F cos30°＝√3F になります。

【一般化】

大きさFの二つの力のなす角をθとすると，合力は 2F cos(θ/2) です。θ＝0°で2F，θ＝60°で√3F，θ＝90°で√2F，θ＝120°でF，θ＝180°で0 になります。導体の配置が正方形や直角三角形の問題でもこの関係が使えます。

例えば本問で上の導体の電流だけを逆向きにすると，上の導体は下の2本から反発されて二つの力のなす角は60°のままなので √3F（外向き）です。下の導体は，もう一方の下の導体からの吸引力と上の導体からの反発力を受け，なす角が120°になるので合力はFになります。

【関連する出題パターン】

・電流の向きが1本だけ逆の場合の力の大きさと向きを求める問題（反発力と吸引力の合成）

・正方形の頂点に置いた4本の導体の1本に働く力を求める問題

・平行導体の中間点の磁界の強さを求める問題

いずれも「2本間の力を求める→向きを決める→ベクトル合成する」の順で解けます。