電験三種 令和4年度上期 理論 問10｜電磁気学（静電界・コンデンサ）

充電されたコンデンサを空のコンデンサにつないだとき，抵抗で失われるエネルギーを求める問題です（令和4年度上期 問10）。

スイッチを閉じる前のエネルギーは Q₁²/(2C₁)＝0.3²/(2×4×10⁻³)＝11.25J です。

スイッチを閉じると電荷が移動しますが，電荷の合計0.3Cは変わりません。最後は二つのコンデンサが同じ電圧になり，合成容量6mFに0.3Cがたまった状態と同じなので，エネルギーは 0.3²/(2×6×10⁻³)＝7.5J です。

減った 11.25－7.5＝3.75J が抵抗で熱として消費されました。正答は(3)です。

【考え方】

抵抗で消費されたエネルギーは，「スイッチを閉じる前のコンデンサのエネルギー」と「過渡現象が終わった後のエネルギー」の差です。電流の時間変化を追う必要はありません。

【閉じる前】

C₁＝4mF＝4×10⁻³F，Q₁＝0.3C

W₀＝Q₁²/(2C₁)＝0.09/(8×10⁻³)＝11.25J

（C₁の電圧は V₁＝Q₁/C₁＝0.3/(4×10⁻³)＝75V）

【閉じた後】

電流が流れなくなると抵抗の電圧は0になり，C₁とC₂の電圧が等しくなります。電荷は二つのコンデンサの間を移動するだけで外へは出ないので，電荷の合計は保存されます。

Q＝Q₁＋Q₂＝0.3C，C₁＋C₂＝6×10⁻³F

共通の電圧 V＝0.3/(6×10⁻³)＝50V

W＝Q²/{2(C₁＋C₂)}＝0.09/(12×10⁻³)＝7.5J

（内訳：C₁は (1/2)×4×10⁻³×50²＝5J，C₂は (1/2)×2×10⁻³×50²＝2.5J）

【消費エネルギー】

W_R＝W₀－W＝11.25－7.5＝3.75J

【誤りの選択肢】

(5)7.50は閉じた後に残っているエネルギー，(2)2.50は閉じた後にC₂へたまったエネルギーで，どちらも抵抗で消費された量ではありません。(4)5.63は閉じる前のエネルギーの半分（11.25/2）で，「半分が失われる」という結論は二つのコンデンサの容量が等しい場合にしか成り立ちません。正答は(3)です。

【抵抗の値によらない理由】

問題文にRの値が与えられていないのは，消費エネルギーがRに関係しないからです。スイッチを閉じた直後の電流は V₁/R，時定数は τ＝R×C₁C₂/(C₁＋C₂) で，電流は i＝(V₁/R)e^(－t/τ) と減衰します。抵抗で消費されるエネルギーは

∫i²R dt＝(V₁²/R)×(τ/2)＝(1/2)×{C₁C₂/(C₁＋C₂)}×V₁²

となり，Rが打ち消されます。Rが大きければ電流は小さいが長く流れ，Rが小さければ大きな電流が短時間流れ，熱になる総量は同じです。

【公式として使う形】

初めの電圧がV₁，V₂の二つのコンデンサをつないだときの損失は

ΔW＝(1/2)×{C₁C₂/(C₁＋C₂)}×(V₁－V₂)²

本問では C₁C₂/(C₁＋C₂)＝(4×2)/(4＋2)mF＝(4/3)×10⁻³F，V₁－V₂＝75V なので

ΔW＝(1/2)×(4/3)×10⁻³×75²＝3.75J

と一回で求まり，エネルギー差の計算と一致します。直列合成容量の形が出てくるのは，電荷を移す経路でC₁とC₂が直列に見えるためです。

【失われる割合】

ΔW/W₀＝C₂/(C₁＋C₂)＝2/6＝1/3 で，本問では初めのエネルギーの3分の1が熱になります。空のコンデンサが大きいほど失われる割合が大きく，C₁＝C₂のときにちょうど半分です。(4)5.63はこの「半分」を当てはめた値です。

【電荷保存とエネルギー非保存】

本問の要点は，電荷は保存されるがコンデンサのエネルギーは保存されないことです。電荷が移る途中で必ず電流が抵抗を通るため，その分のエネルギーが熱として出ていきます。「電荷保存の式で後の電圧を求める」ことと「エネルギーの式で前後を比べる」ことを分けて考えるのが，この種の問題の定石です。電荷の式にエネルギーの保存を持ち込むと，答えが合わなくなります。

【関連する出題パターン】

・つないだ後の共通電圧や，各コンデンサの電荷を求める問題

・極性を逆にしてつないだ場合（電荷の合計は Q₁－Q₂ になる）

・直流電源からコンデンサを充電するとき，電源が供給したエネルギーの半分が抵抗で失われる問題

いずれも「電荷保存で後の状態を決め，エネルギー差を取る」手順で解けます。