電験三種 令和4年度下期 理論 問2｜電磁気学（静電界・コンデンサ）

極板間に置いた帯電した導体球について，電気力線の図から電荷の符号と電位を読み取る問題です（令和4年度下期 問2）。

電気力線は正の電荷から出て負の電荷に入ります。図では導体球に入る線は上からの1本だけで，出ていく線の方がずっと多いので，導体球の電荷は正（Q＞0）です。

また，電気力線は電位の高い方から低い方へ向かいます。上側極板（E）から導体球へ線が入っているので U＜E，導体球から下側極板（－E）へ線が出ているので U＞－E です。さらに正電荷をもつので電位は0より高くなり，0＜U＜E です。正答は(1)です。

【電荷の符号】

導体球の表面に入る電気力線は，上側極板から入る1本だけです。一方，導体球から出て下側極板に向かう電気力線は多数あります。ガウスの法則により，閉曲面から出る電気力線の本数から入る本数を引いたものは，内部の電荷に比例します。出る本数の方が多いので Q＞0 です。

【電位の上限：U＜E】

電気力線の向きに進むと電位は下がります。上側極板から導体球に向かう電気力線があるので，導体球の電位は上側極板より低く U＜E です。U＝E なら電位差がないので，上側極板と導体球の間に電気力線は描かれません。よって(2)(3)は誤りです。

【電位の下限：0＜U】

導体球に電荷がなければ，上下の極板の電位が＋Eと－Eで対称なので，中心にある導体球の電位は0になります。そこに正の電荷Qを与えると，その電荷の分だけ電位が上がるので U＞0 です。図で導体球の左右から電気力線がいったん上向きに出ている様子も，導体球の電位が周囲（中心の高さで0V）より高いことを示しています。

【選択肢の判定】

Q＞0 で 0＜U＜E を満たすのは(1)です。(4)(5)は電荷の符号が逆です。

正答は(1)です。

【重ね合わせで電位を考える】

導体球の電位は，二つの状態の重ね合わせとして考えられます。

①導体球に電荷がなく，極板の電位が＋E，－E の状態：対称性から導体球の電位は0です。

②極板を両方とも0Vにし，導体球に電荷Qを与えた状態：導体球と接地された極板の間の静電容量をC₀とすると，導体球の電位は Q/C₀ です。

実際の状態はこれらの和なので U＝Q/C₀ となり，Q＞0 なら U＞0 です。Qが大きくなるとUも大きくなり，U＝E を超えると上側極板から入る電気力線がなくなって，逆に導体球から上側極板へ向かう線が現れます。図では上から1本入っているので，まだ U＜E の範囲です。

【図から読み取る手がかり】

・電気力線の出入りの本数の差 → 電荷の符号と大きさ

・電気力線の向き → 電位の高低（向きに沿って電位が下がる）

・電気力線は導体表面に垂直に出入りする → 導体は等電位

導体球の左右から上向きに出た線が曲がって下側極板に向かっているのは，導体球の高さにある周囲の空間よりも導体球の電位が高いためで，U＞0 と整合します。

【誤りの選択肢の作られ方】

(2)は「上側極板とつながっている」と誤解させる値です。導体球は電源に接続されていないので，極板と同じ電位になる理由はありません。(3)は電荷が非常に大きい場合の状態で，そのときは上側極板に向かう電気力線が出るはずです。(4)(5)は電気力線の向き（出る・入る）を逆に読んだ場合の選択肢です。

【関連する出題パターン】

・電気力線の図から複数の電荷の符号や大小を判断する問題

・接地された導体と帯電した導体の間の電位・電荷分布を問う問題

・平行板コンデンサ内に導体板を挿入したときの電位を求める問題

いずれも「電気力線は正電荷から出て負電荷に入る」「電気力線の向きに電位が下がる」の二点で判断できます。