電験三種 令和4年度下期 理論 問1｜電磁気学（静電界・コンデンサ）

真空中では，Q [C] の電荷から Q/ε₀ 本の電気力線が出ます（負の電荷には Q/ε₀ 本が入ります）。

Q_A = 16ε₀ なので，A からは 16 本の電気力線が出ています。図を数えると，そのうち 8 本は遠くへ広がり，残りの 8 本は B に入っています。B から出ていく線は 1 本もありません。

B には 8 本が入るだけなので，B は負の電荷で，その大きさは 8ε₀ です。よって Q_B = −8ε₀ [C] です。正答は(4)です。

【電気力線の本数の決まり】

ガウスの定理より，真空中で電荷 Q [C] を囲む閉曲面から出る電気力線の本数は Q/ε₀ 本です。正の電荷からは出て，負の電荷には入ります。

【A について】

Q_A = 16ε₀ [C] → 16ε₀/ε₀ = 16 本が A から出ます。図の 16 本の内訳は次のとおりです。

・無限遠へ向かう線：8 本（左側・上下へ広がる線と，B の外側を回って右へ出る 2 本）

・B に入る線：8 本（B の上側から 4 本，下側から 4 本）

【B について】

B を囲む閉曲面を考えると，入る線が 8 本，出る線が 0 本です。正味で 8 本が入っているので

Q_B/ε₀ = −8 → Q_B = −8ε₀ [C]

正答は(4)です。

【誤りの選択肢】

(1)(2) は正の値ですが，B からは線が出ておらず，矢印はすべて B に向かっているので B は負の電荷です。

(3) −4ε₀ は B に入る線を上側（または下側）の 4 本だけ数えた値です。

(5) −16ε₀ は A の線がすべて B に入る場合の値で，実際には 8 本が無限遠へ出ています。

【ガウスの定理による根拠】

∮ D·dS = Q（D = ε₀E）より，∮ E·dS = Q/ε₀ です。電気力線を「電界の強さ E [V/m] の所で 1 m² あたり E 本」と定めると，閉曲面を貫く本数の合計が電界の面積分に等しくなり，閉曲面内の電荷 Q の 1/ε₀ 倍になります。

これが「Q/ε₀ 本」の根拠で，電束（電束密度 D の線）で考えると Q [C] から Q 本の電束が出る，という対応になります。

【全体の電荷で確かめる】

A と B を両方囲む大きな閉曲面を考えると，そこから出る線は無限遠へ向かう 8 本です。

(Q_A + Q_B)/ε₀ = 8 → Q_A + Q_B = 8ε₀ → Q_B = 8ε₀ − 16ε₀ = −8ε₀ [C]

B を単独で囲んだ結果と一致します。

【図の読み方の注意】

・電気力線は正電荷から出て負電荷に入り，途中で交わったり枝分かれしたりしません。

・導体の表面では電気力線は表面に垂直に出入りします。

・A の右側に線が集まっているのは，負の B に引き寄せられて A の右側の表面電荷密度が大きくなっているためです（導体球の電荷は一様には分布しません）。

・B に入る線を数えるときは，B の上側と下側の両方を数えます。片側だけ数えると (3) の −4ε₀ を選んでしまいます。

【関連する考え方】

本問の配置は，電荷の大きさが 2:1 の正負の電荷の組です。異符号で大きさが等しい場合（電気双極子）は，正電荷から出た線はすべて負電荷に入り，無限遠へ出る線はありません。本問では |Q_A| > |Q_B| なので，差の 8ε₀ 分の線が無限遠へ出ていきます。遠く離れた所から見ると，二つの球はまとめて +8ε₀ [C] の一つの電荷のように見えます。

【計算上の要点】

Q を ε₀ の倍数で与える問題は，「本数＝Q/ε₀」をそのまま使えるように作られています。数え方さえ正しければ計算はほぼ不要なので，線の矢印の向き（出るか入るか）と本数を確実に数えることが得点の鍵です。