電験三種 令和4年度上期 理論 問12｜電磁気・回路理論

運動エネルギーが変わったときの電子の速さを求める問題です（令和4年度上期 問12）。

運動エネルギーは W＝(1/2)mv² なので，速さvは √W に比例します。

エネルギーが400eVから100eVへ1/4になると，速さは √(1/4)＝1/2 倍です。

1.19×10⁷×1/2＝5.95×10⁶m/s

電子の質量や電荷の値を知らなくても，比で計算できます。

エネルギーが1/4なので速さも1/4倍（2.98×10⁶）と考えるのはよくある間違いです。速さは「エネルギーの平方根」に比例する点を押さえましょう。正答は(2)です。

【速さとエネルギーの関係】

相対性理論効果を無視するので，質量m[kg]の電子が速さv[m/s]で動くときの運動エネルギーは

W＝(1/2)mv²

これをvについて解くと

v＝√(2W/m)

mは一定なので，vは√Wに比例します。

【比で計算する】

400eVのときの速さをv₁，100eVのときの速さをv₂とすると

v₂/v₁＝√(W₂/W₁)＝√(100/400)＝√0.25＝0.5

v₂＝0.5×1.19×10⁷＝5.95×10⁶m/s

eVはエネルギーの単位（1eVは電子が1Vの電位差で加速されて得るエネルギー）で，比を取るとそのまま使えます。J（ジュール）へ換算する必要はありません。

【誤りの選択肢】

(1)2.98×10⁶は，速さがエネルギーに比例すると考えて1/4倍にした値です。(3)2.38×10⁷は，エネルギーが減ったのに速さを2倍にした値で，比の向きが逆です。(4)(5)は10⁹m/sの桁で，光速（約3×10⁸m/s）を超えており，物理的にありえません。正答は(2)です。

【比だけで解ける構造】

本問は，電子の質量や素電荷の値が与えられていません。400eVのときの速さが与えられているので，「v∝√W」という関係だけで答えが出るように作られています。比で解く問題では，比例関係が一乗か，二乗か，平方根かを正しく見極めることが核心です。(1)と(3)は，この見極めを誤ったときの値として並べられています。

【物理定数を使った検算】

電子の質量 m≒9.109×10⁻³¹kg，素電荷 e≒1.602×10⁻¹⁹C を使うと，100eVは

W＝100×1.602×10⁻¹⁹＝1.602×10⁻¹⁷J

v＝√(2×1.602×10⁻¹⁷/9.109×10⁻³¹)＝√(3.518×10¹³)≒5.93×10⁶m/s

となり，比で求めた5.95×10⁶m/sとほぼ一致します（差は与えられた1.19×10⁷の丸めによるものです）。

【電位差で加速される電子】

静止した電子を電位差V[V]で加速すると，電界がした仕事eVがすべて運動エネルギーになり

(1/2)mv²＝eV，v＝√(2eV/m)

です。「400eVのエネルギーをもつ電子」は「400Vで加速された電子」と同じ速さになります。加速電圧を4倍にしても速さは2倍にしかならないことは，電子ビームを扱う問題でよく使われます。

【相対性理論効果を無視する理由】

ただし書で相対性理論効果を無視するとしているのは，(1/2)mv² の式が速さが光速に比べて十分小さいときにしか成り立たないためです。本問の速さは光速の数%程度なので，この近似で問題ありません。(4)(5)のような10⁹m/sは光速を超えており，ただし書の前提を外れるだけでなく，現実に起こりえない値です。桁の見当をつけるだけでも二つの選択肢を除外できます。

【関連する出題パターン】

・電位差Vで加速された電子の速さを，e・mの値から直接計算する問題

・電界中の電子が受ける力 F＝eE と加速度 a＝eE/m

・磁界中を運動する電子のローレンツ力と円運動の半径 r＝mv/(eB)

いずれも「エネルギー」「力」「運動」の関係を式で結ぶことが基本です。