電験三種 令和4年度下期 理論 問12｜電磁気学（磁気回路）

磁界中を動く荷電粒子が受けるローレンツ力から，速さと向きを求める問題です（令和4年度下期 問12）。

ローレンツ力の大きさは F＝|e|vB sinθ で，θは速度と磁界の間の角度です。磁界はz軸方向，速度はy軸から60°なので，z軸とのなす角は30°です。

v＝F/(|e|B sin30°)＝1.0×10⁻⁸/(4.0×10⁻⁶×1.0×10⁻³×0.5)＝5.0m/s

向きは，負の電荷なので正の電荷の場合と逆向きの力を受けます。力がx軸の正の向きになるのは②の向きに発射したときです。正答は(5)です。

【速さv】

ローレンツ力の大きさは F＝|e|vB sinθ（θは速度と磁束密度のなす角）です。

速度はyz平面内でy軸から60°なので，z軸（磁界の向き）とのなす角は 90°－60°＝30° です。

v＝F/(|e|B sin30°)

＝1.0×10⁻⁸/(4.0×10⁻⁶×1.0×10⁻³×0.5)

＝1.0×10⁻⁸/(2.0×10⁻⁹)＝5.0m/s

【向き】

力は F＝e(v×B) で表されます。①の向きの速度をy成分とz成分に分けると，z成分は磁界と平行なので力を生じません。y成分（y軸の正の向き）と磁界（z軸の正の向き）について，正の電荷なら v×B の向きは ŷ×ẑ＝x̂ で，x軸の正の向きです。この粒子は e＜0 なので，①の向きでは力はx軸の負の向きになります。

②の向きは①の逆なので，速度のy成分がy軸の負の向きになり，力はx軸の正の向きになります。問題の条件（力がx軸の正の向き）に合うのは②です。

【誤りの選択肢】

2.9m/s は角度を60°として sin60° を使った値（1.0×10⁻⁸/(4.0×10⁻⁹×0.866)≒2.9），2.5m/s は sinθ を掛けずに直交として計算した値です。①は電荷が負であることを考えずに向きを決めた場合です。

正答は(5)です。

【角度の取り違えに注意】

ローレンツ力の式 F＝qvB sinθ の θ は「速度と磁界のなす角」です。図に書かれている60°はy軸からの角度なので，そのまま使うと(2)(4)の2.9m/sになります。磁界と平行な速度成分（v cosθ）は力を生まず，垂直な成分（v sinθ）だけが力を生むと考えると，どの角度を使うべきかがはっきりします。本問では垂直成分は v sin30°＝0.5v です。sinθ を掛けないと v＝F/(|e|B)＝2.5m/s となり(1)の値になります。

【向きの判定の方法】

フレミングの左手の法則は電流の向きで考えるので，負の電荷では「電流の向き＝運動の逆向き」として当てはめます。②の向きに運動する負電荷は，①の向き（右上）に流れる電流と同じです。その垂直成分はy軸の正の向き（右向き）で，磁界は上向きなので，中指を右，人差し指を上に向けると親指は紙面の手前（x軸の正の向き）を指します。これは問題の条件と一致します。

ベクトルで書くと，②の速度は v(0, －cos60°, －sin60°)，B＝(0, 0, B) なので

v×B＝(－vB cos60°, 0, 0)

e＜0 を掛けると F＝(|e|vB cos60°, 0, 0) で，x軸の正の向き，大きさ |e|vB cos60°＝|e|vB sin30° です。

【その後の運動】

磁界と垂直な速度成分は円運動を，平行な成分は等速直線運動を続けるので，粒子はz軸方向に軸をもつらせん運動をします。円運動の半径は r＝mv⊥/(|e|B) です。ローレンツ力は常に速度と垂直なので仕事をせず，速さは変わりません。

【関連する出題パターン】

・磁界中の荷電粒子の円運動の半径や周期を求める問題

・電界と磁界が同時にある空間で粒子が直進する条件（E＝vB）を問う問題

・電子の運動の向きと力の向きを図から選ぶ問題

いずれも，負電荷では力の向きが逆になることと，sinθ のθが磁界とのなす角であることがポイントです。