log e 1とは？答えは0自然対数・常用対数と電験三種での使い方

結論：log e 1（自然対数の1）の答えは 0 です。対数 log a x は「aを何乗するとxになるか」を表す数で、aを0乗すると1になるため、log a 1 は底aが何であっても0になります。底がe（約2.718）の対数を自然対数（ln）、底が10の対数を常用対数（log₁₀）と呼びます。電験三種では、デシベル（20log₁₀）、過渡現象の e^(−t/τ)、ボード線図の対数軸、接地抵抗の式の ln で対数・指数が出てきます。試験で使える電卓は四則演算と開平計算（√）のものだけで、関数電卓は使えません。

log e 1 の答えは 0：対数の意味

対数は、指数の「逆」の計算です。

• 指数：2³＝8（2を3回掛けると8）
• 対数：log₂ 8＝3（2を何乗すると8になるか → 3乗）

一般に、a^y＝x のとき y＝log a x と書きます。aを「底（てい）」、xを「真数（しんすう）」と呼びます。

log e 1 を、この定義で読みます。「eを何乗すると1になるか」を探すと、e⁰＝1 なので答えは0です。

真数は正の数でなければなりません。log 0 や、マイナスの数の対数は、実数の範囲では値が決まりません。たとえば「eを何乗しても0にはならない」ためです。

10のn乗と指数の読み方（マイナス乗・0乗）

対数の前提になる指数を、表で整理します。電気の単位（ミリ・キロなど）も、同じ10の累乗です。

規則は3つです。

• 0乗は1：どんな数も a⁰＝1
• マイナス乗は逆数：10⁻ⁿ＝1÷10ⁿ（10⁻³＝1÷1000＝0.001）
• 掛け算は指数の足し算、割り算は引き算：10²×10³＝10⁵、10⁶÷10³＝10³

例（当サイトの計算）：コンデンサの静電容量 C＝100 μF＝100×10⁻⁶ F、抵抗 R＝10 kΩ＝10×10³ Ω のとき、RC＝(10×100)×(10³×10⁻⁶)＝1000×10⁻³＝1 と、数と指数を分けて計算できます（単位は秒）。検算：10 kΩ×100 μF＝10,000 Ω×0.0001 F＝1 s で一致します。

なお、「10の階乗」という検索は、10の「n乗」ではなく 10!（階乗） のことがあります。階乗は 10×9×8×…×1 のことで、10!＝3,628,800 です。10の累乗（10ⁿ）とは別の計算です。

自然対数 ln・常用対数 log と e の値

底がどの数かで、対数の呼び方と書き方が変わります。

式を読むときは、ln（底e）か log₁₀（底10）かを先に確かめます。

eの値：e＝2.71828…（約2.718）です。電験三種の過渡現象の問題では、「自然対数の底は2.718とする」のように、値が問題文に示される形があります（出題の例は後の節にあります）。

主な値を表にまとめます（当サイトの計算。小数第4位まで）。

検算（1）：ln 10＝2.3026 で、10 をeの2.3026乗として戻すと、e^2.3026≒10 になります（e²＝7.389、e^0.3026≒1.353、7.389×1.353≒10.0）。検算（2）：ln 100＝2×ln 10＝2×2.3026＝4.6052 で、表の値と一致します。

対数の公式（足し算・引き算・累乗・底の変換）

「ログ 公式」「logの足し算」で調べられる内容を、表と数値例で示します（M、N は正の数）。

検算（1）：log₁₀ 6 の実際の値は0.7782（小数第4位）で、0.7781 は2と3の値を小数第4位で丸めた結果の差です。検算（2）：log₁₀ 8 は、10^0.9030≒8.00 に戻して確かめられます（10^0.9＝7.943、10^0.003≒1.007、7.943×1.007≒8.0）。

足し算を掛け算にまとめられるのは、底が同じときだけです。log₁₀ 2＋ln 3 のように底が違う対数は、底を同じにそろえてから計算します。

電験三種での使いどころ：デシベル・過渡現象・ボード線図

電験三種で対数・指数が出てくる主な場面を、表にまとめます。

デシベル（dB）の計算

電圧や電流の利得は 20log₁₀(出力÷入力)、電力の利得は 10log₁₀(出力÷入力) です。電力は電圧の2乗に比例するため、log の係数が2倍の20になります。

例題（当サイトの作例）：増幅度が10の増幅器と、増幅度が20の増幅器を縦続接続したときの全体の利得は何dBか。

• 解き方1（積を先に）：全体の増幅度は10×20＝200 倍。200＝100×2 なので、20log₁₀ 200＝20log₁₀ 100＋20log₁₀ 2＝40＋6.02＝46.02 dB
• 解き方2（dBを足す）：増幅器1は20 dB、増幅器2は 20log₁₀ 20＝20log₁₀ 10＋20log₁₀ 2＝20＋6.02＝26.02 dB。足すと 20＋26.02＝46.02 dB

2通りの結果が一致します。縦続接続の利得は、増幅度を掛ける代わりに dBを足す ことができる、というのがデシベルを使う利点です。

過渡現象の e^(−t/τ)

コンデンサの放電や、コイルを流れる電流の立ち上がりは、指数関数 e^(−t/τ) で進みます。τ（タウ）は時定数で、RC回路では τ＝RC [s]、RL回路では τ＝L÷R [s] です。

放電する電圧は v＝E×e^(−t/τ) で、時間がτだけ進むごとに、e⁻¹＝1÷2.718≒0.368 倍になります。

例題（当サイトの作例）：R＝10 kΩ、C＝100 μF の回路で、100 Vに充電したコンデンサを放電させる。

• 時定数 τ＝RC＝10×10³×100×10⁻⁶＝1 s
• 2 s後の電圧：100×e⁻²＝100×0.1353＝13.5 V（2.718で計算するなら 0.368×0.368＝0.1354 で同じ）
• 電圧が50 Vになるまでの時間：100×e^(−t)＝50 → e^(−t)＝0.5 → t＝ln 2＝0.693 s（検算：e^(−0.693)＝0.500）
• 電圧が10 Vになるまでの時間：e^(−t)＝0.1 → t＝ln 10＝2.303 s（検算：e^(−2.303)＝1÷10＝0.1）

RL回路で電流が立ち上がる場合は、i＝(E÷R)×(1−e^(−t/τ)) です。E＝10 V、R＝5 Ω、L＝0.5 H なら、τ＝L÷R＝0.1 s、最終値は 10÷5＝2 A で、t＝0.1 s のときの電流は 2×(1−0.368)＝1.264 A（2×0.632＝1.264 でも同じ）です。

時定数や過渡現象の式は、電験3種の公式一覧にもまとめています。

ボード線図と接地抵抗の式

制御の分野（機械科目）のボード線図は、横軸が角周波数の対数軸で、縦軸のゲインが dB で表されます。「20 dB/dec」は、角周波数が10倍（1 dec）になるごとにゲインが20 dB変わる傾きです。20log₁₀ 10＝20 なので、10倍で20 dB変化する、という意味になります。

法規の接地工事の分野では、棒状の接地極の接地抵抗を表す式に自然対数 ln が出てきます。式の中の ln は、底がeの自然対数です。

電験三種での出題の型と、電卓が使えない試験での値の扱い

電気技術者試験センターの試験概要によると、試験で使える電卓は四則演算、開平計算（√）を行うための電卓です。数式が記憶できる電卓、関数電卓、印字機能を有する電卓は使用できません。このため、log や ln を電卓のキーで出す前提にはなっていません。

公表された問題冊子から、対数・指数が関わる出題の例を、問題文の引用は避けて整理します。

出典：令和5年度下期 理論、令和8年度上期 理論、令和4年度下期 機械、令和5年度下期 機械、令和7年度下期 機械、令和7年度下期 法規（電気技術者試験センター）。

関数電卓が使えないため、自分で覚えておくと使いやすい値は次のとおりです。

• e＝2.718、e⁻¹＝0.368、e⁻²＝0.135（これらは e＝2.718 を使い、割り算は四則演算でできる）
• log₁₀ 2＝0.301、log₁₀ 3＝0.477（ここから 4・5・6・8・9 の値も組み立てられる）
• 20log₁₀ 10＝20 dB、20log₁₀ 2＝6 dB、20log₁₀ √2＝3 dB

また、電卓にない計算は、次のように「10の何乗か」に直せば、手計算で処理できる場合があります。

• 利得 40 dB の増幅度：20log₁₀ A＝40 → log₁₀ A＝2 → A＝10²＝100 倍
• 利得 26 dB の増幅度：26＝20＋6 → 10倍×2倍＝約20倍（6 dB が約2倍）

電験三種の数学の範囲全体（sin・cos・平方根・連立方程式・2進数など）は、電験三種の数学レベルで整理しています。

間違えやすいポイント

• log₁₀ 1 や ln 1 を1と答える：どの底でも log a 1 は0です。1になるのは log a a（底と真数が同じ）のほうです。
• 対数の足し算を、真数の足し算にしてしまう：log 2＋log 3 は log 5 ではなく、log(2×3)＝log 6 です。log(2＋3) は log 2＋log 3 とは別の数になります。
• 電圧の dB と電力の dB を取り違える：電圧・電流は 20log₁₀、電力は 10log₁₀ です。「2倍で 6 dB」は電圧の話で、電力の2倍は 3 dB です。
• 10⁻³ を −1000 と読む：10⁻³＝1÷1000＝0.001 で、マイナスは「逆数」を表し、負の数ではありません。
• e^(−t/τ) の t/τ を t×τ にする：指数は「時間÷時定数」です。t＝τ のときの指数が−1（≒0.368倍）になる、と確かめると取り違えに気づけます。
• 「10の階乗」と「10の累乗」を混同する：10!（階乗）は3,628,800、10ⁿ は10をn回掛けた数です。
• ln と log の底を取り違える：ln は底e、log₁₀ は底10です。同じ数でも、ln 10＝2.3026、log₁₀ 10＝1 と値が違います。

まとめ

• log e 1＝0：eを0乗すると1になるからです。底が何でも log a 1 は0で、log a a は1です
• 10のマイナス乗は逆数、0乗は1。10⁻³＝0.001 は電気の「ミリ」にあたります
• 自然対数 ln は底e（約2.718）、常用対数 log₁₀ は底10。換算は ln x＝2.3026×log₁₀ x です
• 対数の足し算は真数の掛け算、引き算は割り算、係数は累乗。ただし底が同じときだけです
• 電験三種では、デシベル（電圧・電流は20log₁₀、電力は10log₁₀）、過渡現象の e^(−t/τ)、ボード線図の dB/dec、接地抵抗の式の ln で出てきます
• 関数電卓は使えないので、問題で与えられる値と、手で出せる値（e⁻¹≒0.368、log₁₀ 2≒0.301、2倍＝6 dB）を使い分けます

交流の sin・cos と角度の考え方は、電験三種の三角関数・単位円の記事で、交流の要素は電験3種の交流の基本で整理しています。