電験三種 令和6年度上期 理論 問1｜電磁気・回路理論

空気（比誘電率1）と固体（比誘電率6）を重ねた平行平板電極で，等電位線がどう並ぶかを選ぶ問題です（令和6年度上期 問1）。

鍵は「電束密度Dは境界をまたいでも同じ」という性質です。電界はE＝D/(ε₀εᵣ)なので，比誘電率が小さい空気の層の電界は固体の層の6倍になります。電界が強い所ほど電位が急に変わるので，等電位線は空気の層で密に，固体の層でまばらになります。

また，それぞれの層の中では電界が一様なので，同じ層の中では等電位線は等間隔です。この条件に合うのは，上側（空気）が密で下側（固体）がまばらな図です。正答は(5)です。

【考え方】

端効果を無視すると，電極間の電界は電極に垂直で，各層の中では一様です。境界面に真電荷はないので，境界に垂直な電束密度Dは空気の層と固体の層で等しくなります。

【電界の比】

E₁＝D/(ε₀×1)，E₂＝D/(ε₀×6) より E₁：E₂＝6：1

空気の層の電界は固体の層の6倍です。

【等電位線の間隔】

等電位線を同じ電位差ΔVごとに描くと，間隔はΔd＝ΔV/E です。電界が6倍の空気の層では間隔が1/6になり，等電位線が密に並びます。各層の中ではEが一定なので間隔も一定です。

図1のように二つの層がほぼ同じ厚さなら，電圧の分担は空気：固体＝6：1で，加えた電圧の6/7が空気の層にかかります。

【各選択肢】

(1) 等間隔は誘電体が一種類の場合（図2）の分布で，固体の影響を無視しています。誤り。

(2) 中央付近だけ密になるのは，同じ層の中で電界が変化することになり，一様な電界と矛盾します。誤り。

(3) 密とまばらが逆です。比誘電率の大きい固体のほうが電界は弱くなります。誤り。

(4) 電極付近だけ密になるのも，層の中で電界が一様であることと矛盾します。誤り。

(5) 空気の層で密，固体の層でまばら，各層の中は等間隔。正しい。

正答は(5)です。

【境界条件から考える】

誘電体の境界では，真電荷がなければ「電束密度の法線成分が連続」「電界の接線成分が連続」という二つの条件が成り立ちます。本問は電界が境界に垂直なので前者だけを使い，D₁＝D₂ から ε₁E₁＝ε₂E₂，つまり E₁/E₂＝ε₂/ε₁＝6 となります。電位は電界を距離で積分したものなので，電界が強い層ほど電位の傾きが急になり，等電位線の間隔が詰まります。

【直列コンデンサとして見る】

同じ結果は，二つの層を直列のコンデンサと考えても得られます。空気の層の厚さをd₁，固体の層の厚さをd₂，面積をSとすると

C₁＝ε₀S/d₁，C₂＝6ε₀S/d₂

直列コンデンサには同じ電荷Qがたまるので，電圧はV₁＝Q/C₁，V₂＝Q/C₂ と静電容量に反比例して分かれます。d₁＝d₂ なら V₁：V₂＝C₂：C₁＝6：1 です。「誘電率が小さい層ほど大きな電圧を受け持つ」と覚えておくと，図を見ただけで判断できます。

【誤りの図が用意された理由】

(1)は固体を入れても分布が変わらないと考えた場合，(3)は「誘電率が大きいほど電界も大きい」と取り違えた場合の図です。(3)と(5)は密とまばらがちょうど入れ替わった図なので，Dの連続からEの大小を正しく導けるかがそのまま問われています。(2)と(4)は，境界や電極の付近で電界が集中するという印象から作られた図ですが，端効果を無視した平行平板では各層の電界は一様で，間隔が変わるのは境界面の一か所だけです。

【関連する出題パターン】

・空気層とガラス板などを重ねたコンデンサで，空気層の電界の強さや，空気層で絶縁破壊が起きる電圧を求める計算問題

・固体絶縁物の中に空げき（ボイド）があると，比誘電率の小さい空げきに電界が集中して部分放電が起きやすいという定性問題。本問の結論がそのまま根拠になります

・境界面に斜めに電界が入る場合の屈折（tanθ₁/tanθ₂＝ε₁/ε₂）を問う問題

どれも「Dの法線成分が連続」という一つの条件から解けます。