電験三種 令和5年度下期 理論 問8｜電磁誘導・インダクタンス

RLC直列回路の共振で，コイルの電圧から共振周波数を求める問題です（令和5年度下期 問8）。

直列共振ではコイルとコンデンサのリアクタンスが打ち消し合い，回路のインピーダンスは抵抗Rだけになります。電流は I＝1V÷0.5Ω＝2A です。

コイルの電圧は V_L＝ωL×I なので，ωL＝314÷2＝157Ω。L＝10mH より ω＝157÷0.01＝15700rad/s，f＝ω/(2π)≒2500Hz＝2.5kHz です。正答は(2)です。

【共振時の電流】

直列共振では ωL＝1/(ωC) となり，リアクタンスの和が0になります。インピーダンスは Z＝R＝0.5Ω なので

I＝V/R＝1/0.5＝2［A］

【コイルのリアクタンス】

V_L＝X_L×I より

X_L＝V_L/I＝314/2＝157［Ω］

【共振周波数】

X_L＝2πfL より

f＝X_L/(2πL)＝157/(2π×10×10⁻³)＝157/0.06283≒2499［Hz］≒2.5［kHz］

【ポイント】

Cの値は与えられていませんが，共振時の電流がRだけで決まることと，V_Lの値からX_Lが分かるので，f₀＝1/(2π√(LC)) を使わずに解けます。314＝100π，157＝50π と見ると，f＝50π/(2π×0.01)＝2500Hz とすぐに計算できます。

【数値の確認】

電源電圧1Vに対し，コイルの電圧は314Vと電源の300倍以上になっています。直列共振ではLとCの電圧が互いに打ち消し合うので，各素子の電圧が電源電圧より大きくなることがあります。

正答は(2)です。

【直列共振の電圧拡大】

直列共振では，コイルの電圧V_L＝ωLIとコンデンサの電圧V_C＝I/(ωC)は大きさが等しく，位相が180°違うので打ち消し合います。電源電圧はすべて抵抗にかかり，電流は I＝V/R と最大になります。このとき

V_L/V＝ω₀L/R＝Q

をQ（尖鋭度）と呼びます。本問では Q＝314/1＝314 です。Qが大きい回路ほど，共振時にコイルやコンデンサに電源電圧のQ倍もの電圧が現れます。

【別解：Qの式から】

Q＝ω₀L/R より

ω₀＝QR/L＝314×0.5/0.01＝15700［rad/s］

f₀＝ω₀/(2π)＝15700/6.283≒2499［Hz］

同じく2.5kHzです。

【Cの値も求めておく】

共振条件 ω₀L＝1/(ω₀C) から

C＝1/(ω₀²L)＝1/(15700²×0.01)≒4.06×10⁻⁷［F］≒0.41［μF］

共振周波数の式 f₀＝1/(2π√(LC)) にこのCとL＝10mHを入れると，確かに約2.5kHzになります。問題文はCを与えずに，V_Lから逆算させる形になっています。

【選択肢の作られ方】

・ωとfの取り違え：ω＝15700rad/sをそのままkHzと見たり，2πで割る代わりに掛けたりすると，桁や値が大きくずれます。

・電流を求めずに X_L＝V_L/V＝314Ω としてしまうと，f≒5.0kHzとなり選択肢にありません。共振時の電流をRから正しく出すことが出発点です。

選択肢が0.5kHz刻みに並んでいるので，πをきちんと扱えば迷わない問題です。

【関連する出題パターン】

・共振時のコンデンサの電圧を求める問題（V_C＝V_L）

・Qと帯域幅の関係 Q＝f₀/(f₂－f₁)

・並列共振（インピーダンスが最大，電源電流が最小）との比較

直列共振では「電流最大・インピーダンス最小（＝R）」，並列共振では「電流最小・インピーダンス最大」と整理しておくと混同しません。