電験三種 理論 問55電磁気学（静電界・コンデンサ）

電圧を一定にした平行平板コンデンサで，比誘電率εᵣによって変わる量と変わらない量を見分ける問題です（令和5年度下期 問1）。

電圧V，極板間隔dが一定なら，電界はE＝V/dで，電位は極板間で直線的に変わります。どちらもεᵣを含まないので，ａとｂは誤りです。

一方，静電容量C＝ε₀εᵣS/d，電荷Q＝CV，静電エネルギーW＝(1/2)CV²はいずれもεᵣに比例するので，ｃ・ｄ・ｅは正しい記述です。誤っているのはａとｂで，正答は(1)です。

【前提】

電源につながったまま電圧Vが一定で，極板間隔d，面積Sも変わりません。端効果は無視するので，極板間の電界は一様です。

【ａ 電界分布（誤り）】

一様電界では E＝V/d です。V，dが一定ならEはεᵣによらず一定です。

【ｂ 電位分布（誤り）】

下の極板からの距離をxとすると，電位は V(x)＝Ex＝(V/d)x と直線的に変わります。この式にもεᵣは含まれません。

【ｃ 静電容量（正しい）】

C＝ε₀εᵣS/d で，εᵣに比例します。

【ｄ 静電エネルギー（正しい）】

W＝(1/2)CV²＝(1/2)(ε₀εᵣS/d)V² で，εᵣに比例します。

【ｅ 電荷（正しい）】

Q＝CV＝ε₀εᵣSV/d で，εᵣに比例します。

【まとめ】

電圧が一定のとき，εᵣの影響を受けるのは C，Q，W（およびD＝ε₀εᵣE）で，E と電位分布は受けません。誤っているものはａとｂです。

例えば εᵣ＝2 の誘電体に変えると，C，Q，Wはいずれも2倍になりますが，電界Eと電位分布は変わりません。

正答は(1)です。

【電圧一定と電荷一定の違い】

この種の問題は，「電源につないだまま（電圧一定）」か「充電後に電源から切り離した（電荷一定）」かで答えが変わります。

電圧一定（本問）：

・E＝V/d → εᵣによらない

・C＝ε₀εᵣS/d → εᵣ倍

・Q＝CV → εᵣ倍

・W＝(1/2)CV² → εᵣ倍

・電束密度 D＝ε₀εᵣE → εᵣ倍

電荷一定：

・D＝Q/S → εᵣによらない

・E＝D/(ε₀εᵣ) → 1/εᵣ倍

・V＝Ed → 1/εᵣ倍

・W＝Q²/(2C) → 1/εᵣ倍

本問のａ・ｂは，電荷一定の場合なら「εᵣに依存する」が正しくなる記述です。問題文の「一定の直流電圧が加えられている」という条件を読み落とすと，ａやｂを正しいと判断してしまいます。

【誘電体の中で何が起きているか】

誘電体を入れると分極が起こり，誘電体の表面に極板の電荷と逆符号の分極電荷が現れて，電界を弱めようとします。電圧が一定のときは，電源から極板に電荷が追加で供給されて分極電荷の効果を打ち消し，E＝V/dが保たれます。この追加で供給される電荷の分だけQがεᵣ倍になり，蓄えられるエネルギーも増えます。

【式で確かめる手順】

各記述について，その量を「一定の量（V，d，S）」とεᵣだけで書いてみるのが確実です。

E＝V/d，V(x)＝(V/d)x，C＝ε₀εᵣS/d，Q＝ε₀εᵣSV/d，W＝ε₀εᵣSV²/(2d)

εᵣが式に現れるかどうかで，依存するかどうかがそのまま判定できます。

【選択肢の作り】

選択肢には「ｃ，ｄ，ｅ」のように正しい記述をすべて集めた組合せも用意されています。「誤っているもの」を問われているのか，「正しいもの」を問われているのかを確認してから選ぶことが大切です。

【関連する出題パターン】

・極板間の一部に誘電体を挿入した場合の電界・電圧分担（直列コンデンサとして扱う）

・極板間隔を変えたときの C，Q，E，W の変化（電圧一定と電荷一定の両方）

・誘電体を挿入・引き抜くときに必要な仕事

「何が一定か」を最初に決め，残りの量をその一定の量で表すと，変化の向きを確実に判断できます。