電験三種 令和5年度下期 理論 問2｜電磁気学（静電界・コンデンサ）

糸でつるした二つの帯電球の釣合いを，クーロンの法則で考える問題です（令和5年度下期 問2）。

AとBはどちらも正の電荷（Qと3Q）なので，同符号どうしで反発力が働きます（(ｱ)）。その大きさはクーロンの法則より F＝Q×3Q/(4πε₀d²)＝3Q²/(4πε₀d²) です（(ｲ)）。

力の釣合いの式を整理すると k＝16πε₀l²mg/(3Q²) となります（(ｳ)）。

接触させると電荷は合計4Qを2Qずつに分け合い，電荷の積が3Q²から4Q²に増えます。反発力が強くなるので距離dは増加します（(ｴ)）。正答は(1)です。

【(ｱ)(ｲ) 静電力】

AとBの電荷はQと3Qで同符号なので反発力です。クーロンの法則より

F＝Q·3Q/(4πε₀d²)＝3Q²/(4πε₀d²)［N］

【(ｳ) 係数k】

x＝d/(2l) とおくと，F/T＝x より T＝F/x。

F²＋(mg)²＝T²＝F²/x² から (mg)²＝F²(1－x²)/x²

よって mg·x＝F√(1－x²)

ここで d＝2lx を F に代入すると

F＝3Q²/(4πε₀·4l²x²)＝3Q²/(16πε₀l²x²)

mg·x＝{3Q²/(16πε₀l²x²)}√(1－x²)

両辺に 16πε₀l²x²/(3Q²) を掛けて

{16πε₀l²mg/(3Q²)}x³＝√(1－x²)

k＝16πε₀l²mg/(3Q²)

【(ｴ) 接触後の距離】

同じ大きさの導体球を接触させて同電位にすると，電荷は等しく分かれます。合計4Qなので2Qずつです。電荷の積は Q×3Q＝3Q² から 2Q×2Q＝4Q² に増えるので，同じ距離での反発力は4/3倍になり，釣合いの距離dは増加します。式で見ても，kは 16πε₀l²mg/(4Q²) と小さくなり，左辺 kx³ が小さくなった分，x（つまりd）が大きいところで右辺と等しくなります。

正答は(1)です。

【力の釣合いの図形的な意味】

各球には，水平方向の静電力F，鉛直下向きの重力mg，糸の方向の張力Tが働きます。この三つの力は閉じた直角三角形をつくり，斜辺がTです。糸と鉛直線のなす角をθとすると，図の二等辺三角形から sinθ＝(d/2)/l＝d/(2l) であり，力の三角形でも F/T＝sinθ です。問題文の「F/Tはd/(2l)に等しい」はこの関係を表しています。同じ三角形で tanθ＝F/(mg) となるので，k(d/(2l))³＝√(1－(d/(2l))²) は「F＝mg tanθ」を d で書き直した式と見ることもできます。

【kの式に3が入る理由】

誤りの選択肢には，Fを Q²/(4πε₀d²) としたもの，kを 4πε₀l²mg/Q² としたものがあります。Fの分子の3は電荷の積 Q×3Q からきており，kの「16」と「3」は，d²＝4l²x² の4と電荷の積の3から出てきます。(3)のようにFは正しくてもkの係数を落とすと誤りになるので，dを2lxに置き換える手順を省略しないことが大切です。

【接触で電荷が等分される理由】

導体球を接触させると全体が一つの導体になり，全体が同電位になるまで電荷が移動します。同じ大きさの球なら静電容量が等しいので，同電位のとき電荷も等しくなり，合計4Qを2Qずつに分けます。

【積が増える一般的な性質】

合計が一定（q₁＋q₂＝4Q）の二つの数の積 q₁q₂ は，二つが等しいときに最大になります。したがって，同符号の電荷を等分すると積は必ず増え（またはもとから等しければ変わらず），反発力は強くなります。逆に異符号の電荷（例えばQと－3Q）を接触させると，合計－2Qを－Qずつに分け，吸引力から反発力に変わります。符号まで含めて追うことが必要です。

【関連する出題パターン】

・二つの点電荷の間の力が0になる点を求める問題

・電荷を接触させたあとに力が何倍になるかを求める問題（本問では4/3倍）

・糸でつるした帯電球の角度から電荷量を求める問題

いずれもクーロンの法則 F＝q₁q₂/(4πε₀r²) と力の釣合いの組合せで解けます。