電験三種 令和5年度下期 理論 問7｜電磁気・回路理論

スイッチの切り換えで変わる電流から，抵抗rを求める直流回路の問題です（令和5年度下期 問7）。

スイッチを開いたときは R₁＋R₂＝100÷2.0＝50Ω。②側ではR₂が短絡されるので R₁＝100÷5.0＝20Ω，よって R₂＝30Ω です。

①側ではR₂とrが並列になり，全体は 100÷2.5＝40Ω。並列部分は 40－20＝20Ω なので，30r/(30＋r)＝20 を解いて r＝60Ω です。正答は(5)です。

【スイッチ開（R₁とR₂の直列）】

R₁＋R₂＝100/2.0＝50［Ω］……①

【②側（R₂を短絡）】

②側に閉じると，R₁とR₂の接続点が導線で下側につながり，R₂の両端が短絡されます。回路の抵抗はR₁だけです。

R₁＝100/5.0＝20［Ω］

①式より R₂＝50－20＝30［Ω］

【①側（R₂とrの並列）】

全体の抵抗は 100/2.5＝40［Ω］

並列部分の合成抵抗は 40－R₁＝40－20＝20［Ω］

R₂r/(R₂＋r)＝20 に R₂＝30 を入れて

30r＝20(30＋r)

30r＝600＋20r

10r＝600 → r＝60［Ω］

【検算】

30Ωと60Ωの並列は 30×60/(30＋60)＝20Ω。全体は 20＋20＝40Ω で，電流は 100/40＝2.5A となり条件に合います。

並列部分の電圧は 2.5×20＝50V なので，R₂には 50/30≒1.67A，rには 50/60≒0.83A が流れ，合計2.5Aで電流計の指示と一致します。

【選択肢との関係】

20（R₁），30（R₂），40（①側の全体），50（開いたときの全体）はいずれも途中で出てくる値です。最後に求めたのがrであることを確認して選びます。

正答は(5)です。

【解き方の組み立て】

未知数はR₁，R₂，rの三つで，条件（電流の測定値）も三つあります。三つの式を立てれば解けますが，スイッチの位置ごとに回路がどう変わるかを先に見極めると，一つずつ順に決まっていきます。

・開：R₁＋R₂

・②：R₁だけ（R₂を短絡）

・①：R₁＋(R₂とrの並列)

一番単純な②からR₁を決め，開からR₂を決め，最後に①からrを求める順序が最短です。

【コンダクタンスで解く別解】

並列部分の合成抵抗20Ωをコンダクタンスで表すと 1/20＝1/30＋1/r です。

1/r＝1/20－1/30＝(3－2)/60＝1/60 → r＝60Ω

分数の計算に慣れていれば，こちらのほうが速く解けます。

【選択肢の作られ方】

・(1) 20：R₁の値，または並列部分の合成抵抗20Ωを，rと取り違えた場合

・(2) 30：R₂の値

・(3) 40：①側の全体の抵抗

・(4) 50：スイッチを開いたときの全体の抵抗

このように誤りの選択肢は，途中で出てくる値がそのまま並んでいます。何を求めているのかを最後に確認することが大切です。

【並列抵抗の性質による確認】

並列の合成抵抗は，どちらの抵抗よりも小さくなります。合成抵抗20ΩがR₂＝30Ωより小さいことは並列として自然で，rは20Ωより大きい値でなければなりません。この性質だけで(1)の20Ω以下は除外できます。

【短絡の見落としに注意】

②側では，スイッチの先が導線だけで下側の線につながっているため，R₂の両端が同じ電位になり，R₂には電流が流れません。図の上でR₂が「消える」ことに気づけるかが本問の最初の関門です。もしR₂が短絡されることに気づかずに，②側でもR₂を残して計算すると，R₁とR₂を決める式が立たなくなります。

【関連する出題パターン】

・スイッチの開閉で電流が何倍になるかを与え，抵抗の比を求める問題

・電流計や電圧計の内部抵抗を考慮して測定値の誤差を求める問題（本問はただし書で内部抵抗を無視しています）

・ブリッジ回路で，スイッチの開閉によって電流が変わらない条件（平衡条件）を使う問題

いずれも「スイッチの位置ごとに等価回路を描き直す」ことが出発点です。