電験三種 令和5年度下期 理論 問9｜電磁気・回路理論

基本波と第3調波を含むひずみ波の電圧・電流から，電力（有効電力）を求める問題です（令和5年度下期 問9）。

ひずみ波の電力は，同じ周波数の成分どうしの電力を足し合わせて求めます。周波数が違う成分どうしは平均すると0になり，電力になりません。

基本波：(100×20/2)×cos(π/6)≒866W

第3調波：(50×10√3/2)×cos(π/3)≒216.5W

合計は約1083W＝1.08kWです。正答は(2)です。

【考え方】

各成分の式は最大値で書かれているので，実効値は最大値の1/√2です。同じ周波数の電圧と電流の組ごとに P＝VIcosθ を求めて合計します。

【基本波（ω）】

電圧の最大値100V，電流の最大値20A，位相差は 0－(－π/6)＝π/6（電流が遅れ）

P₁＝(100/√2)×(20/√2)×cos(π/6)＝1000×(√3/2)≒866.0［W］

【第3調波（3ω）】

電圧の最大値50V，電流の最大値10√3≒17.32A

位相差は (－π/6)－(＋π/6)＝－π/3 なので cos(π/3)＝0.5

P₃＝(50/√2)×(10√3/√2)×0.5＝250√3×0.5≒216.5［W］

【合計】

P＝P₁＋P₃≒866.0＋216.5＝1082.5［W］≒1.08［kW］

【注意点】

・最大値どうしを掛けたときは2で割ります（実効値＝最大値/√2 を二つ掛けるため）。

・電圧の基本波と電流の第3調波のように，周波数が違う組合せは電力に寄与しません。

・第3調波を忘れると約0.87kWとなり，どの選択肢にも合いません。

正答は(2)です。

【なぜ異なる周波数の成分は電力にならないか】

瞬時電力 p＝ei を1周期で平均したものが電力です。eとiを展開すると，sinmωt×sinnωt の形の項が現れます。

sinA×sinB＝(1/2){cos(A－B)－cos(A＋B)}

m≠n のとき，cos((m－n)ωt＋…)もcos((m＋n)ωt＋…)も1周期の平均が0になるので，電力に残りません。m＝nのときだけ cos(A－B) が一定値（位相差の余弦）となり，平均電力 (VₘIₘ/2)cosθ が残ります。これが「同じ周波数どうしの電力の和」になる理由です。

【位相差の取り方】

位相差は「電圧の位相－電流の位相」で求めます。

・基本波：0－(－π/6)＝π/6（電流が遅れ，誘導性）

・第3調波：(－π/6)－(π/6)＝－π/3（電流が進み，容量性）

cosは偶関数なので符号によらず cos(π/3)＝0.5 です。基本波は誘導性，第3調波は容量性のように，周波数ごとに負荷の性質が違って見えるのは，リアクタンスが周波数に比例（コイル）または反比例（コンデンサ）するためです。

【実効値の計算と力率】

同じ考え方で，ひずみ波の実効値は各成分の実効値の2乗和の平方根です。

電圧：V＝√((100/√2)²＋(50/√2)²)＝√(5000＋1250)≒79.1V

電流：I＝√((20/√2)²＋(10√3/√2)²)＝√(200＋150)≒18.7A

皮相電力 VI≒1479V·A なので，総合力率は 1082.5/1479≒0.73 になります。この「実効値」「総合力率」を問う形も，ひずみ波の典型的な出題です。

【よくある誤り】

・最大値の積のまま2で割らずに計算すると，電力が2倍の約2.17kWとなる

・位相差を，電圧と電流の位相の和で取ってしまう

・第3調波の電流10√3を10と読み違える

選択肢の数値は互いに近いので，各成分を一つずつ確実に計算することが大切です。