電験三種 令和5年度下期 理論 問10｜電磁気学（静電界・コンデンサ）

充電したコンデンサを抵抗Rで放電させるRC回路の問題です（令和5年度下期 問10）。

スイッチを2側にすると，電圧Eまで充電されたコンデンサがRを通して放電します。切り換えた瞬間のコンデンサの電圧はEのままなので，そのときの電流の大きさはE/Rです。この式にCは入っていないので，「t＝0の電流はCの値に関係する」という(5)が誤りです。

時定数はτ＝CR，電圧はv_C＝Ee^(－t/CR) で減っていき，t＝τでE/2.718≒0.368Eになります。正答は(5)です。

【放電の式】

2側に切り換えると，Eまで充電されたコンデンサとRだけの回路になります。

v_C＝Ee^(－t/τ)，τ＝CR

放電電流は，図の矢印（SからRへ向かう向き）を正とすると，実際には逆向きに流れるので

i＝－(E/R)e^(－t/τ)

【各選択肢】

(1) 時定数τ＝CRはCに比例します。正しい。

(2) Rが大きいとτ＝CRが大きくなり，v_Cはゆっくり減ります。正しい。

(3) t＝τのとき v_C＝Ee^(－1)＝E/2.718≒0.368E。正しい。

(4) 放電電流はコンデンサの上側からRを通ってS側へ流れるので，Rの電位はC側が高く，S側が低くなります。v_Rは矢印の先（S側）がC側より高いときを正とする向き（v_Cの矢印と同じ決め方）なので，v_Rは負です。キルヒホッフの電圧則でも v_R＝－v_C＜0 となります。正しい。

(5) t＝0ではv_C＝Eなので，電流の大きさは E/R です。Cの値には関係しません。誤り。

【ポイント】

Cは「どれだけ長く電流が流れ続けるか」（時定数）には効きますが，切り換えた瞬間の電流は，そのときのコンデンサの電圧と抵抗だけで決まります。

正答は(5)です。

【微分方程式から確かめる】

2側の閉回路でキルヒホッフの電圧則を立てます。電流をコンデンサから流れ出る向きに i' とすると，i'＝－C(dv_C/dt)，v_C＝Ri' より

CR(dv_C/dt)＋v_C＝0

初期値 v_C(0)＝E のもとで解くと v_C＝Ee^(－t/CR) です。i'＝v_C/R＝(E/R)e^(－t/CR) なので，t＝0での大きさはE/Rで，Cは時定数の中にしか現れません。

【時定数の意味】

τ＝CRは，最初の減り方のまま減り続けたときに0になるまでの時間です（t＝0での接線がt＝τで横軸と交わる）。実際には指数関数的に減るので，t＝τで初期値の約36.8％，t＝3τで約5％，t＝5τで約0.7％になります。ただし書の「自然対数の底は2.718」は，このe^(－1)＝1/2.718≒0.368を計算させるための条件です。

【Cが大きいとどう変わるか】

Cを2倍にしても，t＝0の電流E/Rは同じですが，時定数が2倍になり電流が長く流れます。蓄えられた電荷Q＝CEも2倍になるので，放電で流れる電荷の総量が増える，という関係になっています。同様に，抵抗で消費されるエネルギーの合計は，最初にコンデンサに蓄えられていた(1/2)CE²に等しく，Rの値によりません。

【符号の問題（選択肢(4)）】

この種の問題では，図に描かれた電流や電圧の矢印の向きと，実際に流れる向きとの関係がよく問われます。充電のときと放電のときでは電流の向きが逆になるので，図の矢印を正とすると放電電流i，抵抗の電圧v_Rはいずれも負の値になります。式で v_R＋v_C＝0（2側の閉回路の電圧則）を立てれば，v_C＞0 から v_R＜0 がすぐに分かります。

【関連する出題パターン】

・充電の場合 v_C＝E(1－e^(－t/CR))，t＝τで約0.632E になること

・RL回路の時定数 τ＝L/R と，切り換え直後にインダクタンスの電流が連続すること

・v_Cやiの時間変化のグラフを選ぶ問題

いずれも「切り換えの瞬間に連続する量（コンデンサの電圧，コイルの電流）」と「時定数」の二つで判断できます。