電験三種 令和6年度上期 理論 問2｜電磁気学（静電界・コンデンサ）

空気中の導体球にためられる電荷の上限を、空気の絶縁耐力から求める問題です（令和6年度上期 問2）。

電荷Qをもつ半径aの導体球の表面の電界は E＝Q/(4πε₀a²) で、電界は球の表面で最も強くなります。この電界が空気の絶縁耐力E_mを超えると空気の絶縁が破れて放電し、それ以上は帯電できません。

Q/(4πε₀a²)＝E_m とおいて Q＝4πε₀a²E_m。正答は(4)です。

【考え方】（令和6年度上期 問2）

孤立した導体球に電荷Qを与えると、電荷は表面に一様に分布し、球の外側の電界は中心に点電荷Qを置いたときと同じになります。中心からの距離r（≧a）の点の電界は

E＝Q/(4πε₀r²) [V/m]

で、rが小さいほど強いので、最も強いのは球の表面（r＝a）です。

【最大電荷】

表面の電界が空気の絶縁耐力E_mに達すると、空気が絶縁破壊して電荷が逃げ始めます。したがって帯電できる最大の電荷は

Q/(4πε₀a²)＝E_m

Q＝4πε₀a²E_m [C]

となり、正答は(4)です。

【単位で確かめる】

ε₀[F/m]×a²[m²]×E_m[V/m]＝[F･V]＝[C] で、電荷の単位になります。

・(3) 4πε₀aE_m は [F]×[V/m]＝[C/m] で電荷になりません（Q/a にあたる量です）。

・(5) 4πε₀a³E_m は [C･m] で電荷になりません。

・(1)(2) は E_m を 4πε₀a² などで割った形で、表面の電界の式の分母と分子を取り違えたものです。単位も[C]になりません。

【ガウスの法則による導出】（令和6年度上期 問2）

導体球と同心の半径rの球面を考えると、球面を貫く電束は内部の電荷Qに等しく、対称性から電束密度は球面上で一様です。

D×4πr²＝Q → D＝Q/(4πr²)、E＝D/ε₀＝Q/(4πε₀r²)

導体の内部（r＜a）では電界は0なので、電界は表面で最大値 Q/(4πε₀a²) をとります。最大の電界が絶縁耐力に等しいという条件から Q_max＝4πε₀a²E_m が得られます。

【電位で表すと】

導体球の電位は V＝Q/(4πε₀a) なので、表面の電界は E＝V/a とも書けます。このとき最大の電位は

V_max＝aE_m

で、球の半径に比例します。同じ絶縁耐力の空気中でも、半径の大きい球ほど高い電圧まで放電せずに保てることになります。導体の表面をなめらかで大きな曲率半径にしておくと放電が起きにくいのはこのためで、とがった部分（半径の小さい部分）では電界が集中して放電（コロナ放電など）が起こりやすくなります。高電圧の機器で電極の角を丸めたり、太い電線を使ったりするのも同じ考え方です。

【静電容量との関係】

孤立導体球の静電容量は C＝Q/V＝4πε₀a です。最大電荷は Q_max＝C×V_max＝4πε₀a×aE_m＝4πε₀a²E_m となり、同じ結果が得られます。(3)の 4πε₀aE_m は、静電容量にE_mをそのまま掛けた形で、電位ではなく電界を掛けているため単位が合いません。

【出題のねらい】

選択肢はaの次数（a⁻²、a⁻¹、a¹、a²、a³）だけを変えた形です。「表面の電界＝Q/(4πε₀a²)」を思い出してQについて解けば a² が残ること、また単位が[C]になるのは(4)だけであることの2つの方法で確かめられます。