電験三種 令和7年度上期 理論 問2｜電磁気学（静電界・コンデンサ）

帯電した球状導体のまわりを比誘電率2の液体で満たしたとき、何がどう変わるかを問う問題です（令和7年度上期 問2）。

導体の電荷Qはそのままです。周囲の誘電率がε₀からε＝2ε₀になると、電界の強さE＝Q/(4πεr²)と電位V＝Q/(4πεr)はどちらも1/2倍になります。電束密度D＝Q/(4πr²)は誘電率に関係しないので変わらず、電気力線の本数Q/εは1/2倍です。

静電容量はC＝Q/V＝4πεrなので、εが2倍になると2倍になります。正答は(5)です。

【前提】（令和7年度上期 問2）

球状導体は孤立しているので、液体を満たしても電荷Qは変わりません。周囲の誘電率は ε₀ → ε＝2ε₀ になります。導体の外側の電界はガウスの法則から、導体の中心に電荷Qを置いたときと同じです。

【各選択肢の検討】

(1) 誤り。表面の電位は V＝Q/(4πεr) で、εが2倍になると1/2倍になります。

(2) 誤り。表面の電界の強さは E＝Q/(4πεr²) で、1/2倍になります。

(3) 誤り。電束は電荷Qから出る量そのもので、誘電体があっても本数Qは変わりません。表面の電束密度 D＝Q/(4πr²) は変わりません。

(4) 誤り。電荷Qから出る電気力線の本数は Q/ε です。εが2倍になるので1/2倍になります。

(5) 正しい。静電容量は C＝Q/V＝Q/{Q/(4πεr)}＝4πεr です。ε＝2ε₀ になるので、液体を満たす前の 4πε₀r の2倍になります。

【まとめ】

電荷一定のまま誘電率を2倍にすると、E・V・電気力線の本数は1/2倍、Dは不変、Cは2倍です。

正しいものは(5)で、正答は(5)です。

【ガウスの法則から順に導く】（令和7年度上期 問2）

半径R（≧r）の球面を考えると、電束の総量は内部の電荷に等しいので

D×4πR²＝Q → D＝Q/(4πR²)

この式には誘電率が入らないため、Dは周囲の物質に関係しません。電界は E＝D/ε＝Q/(4πεR²) です。

電位は無限遠点を0として電界を積分し、

V＝∫(r→∞) E dR＝Q/(4πεr)

となります。ただし書の「無限遠点の電位を零電位とする」は、この積分の基準を定めるためのものです。

【電束と電気力線の違い】

電束はQ[C]から Q 本出ると定義され、物質に左右されません。電気力線は電界Eを表す線で、ガウスの法則 ∮E・dS＝Q/ε から本数は Q/ε になり、誘電率が大きいほど少なくなります。(3)と(4)はこの2つの違いを問う選択肢で、どちらも「2倍」は誤りです（Dは1倍、電気力線は1/2倍）。

【電荷一定か電圧一定か】

本問は導体が孤立していて電荷Qが一定の場合です。電源につながって電位Vが一定のまま誘電率を2倍にした場合は、C＝4πεrが2倍なので Q＝CV が2倍になり、表面の電界 E＝V/r は変わらず、電束密度Dは2倍になります。どちらの場合も静電容量が2倍になることだけは共通で、静電容量は電荷や電圧ではなく形状と誘電率で決まる量であることが分かります。何が一定に保たれているかで答えが変わるので、問題文の条件を最初に確かめることが大切です。

【静電エネルギーの変化】

電荷一定なら W＝Q²/(2C) で、Cが2倍になるとエネルギーは1/2倍になります。液体中では同じ電荷でも電界が弱まり、蓄えられるエネルギーも小さくなります。

【出題のねらい】

「誘電率が2倍」と聞くとすべてが2倍か1/2倍になると思いがちですが、Dのように変わらない量も含まれています。E、V、D、電気力線、Cをそれぞれ式で書いてεがどこに入るかを確かめれば、一つずつ確実に判断できます。