電験三種 令和5年度上期 理論 問11｜電磁気学（磁気回路）

ホール素子の原理（ホール効果）を問う問題です（令和5年度上期 問11）。

p形半導体では電流を運ぶのは正孔（正の電荷）です。電流は奥から手前へ，磁界は上向きなので，フレミングの左手の法則で正孔が受ける力は左向きになり，正孔は電極①側に集まります。よって電極①が正，電極②が負です（(ｱ)正，(ｲ)負）。

n形では電流を運ぶのが電子（負の電荷）になり，電極にたまる電荷の符号が逆になるので，電界の向きはp形と反対です（(ｳ)）。

ホール電圧は V_H＝R_H·BI/d で，電流と磁束密度に比例し，厚さdに反比例します（(ｴ)）。正答は(5)です。

【(ｱ)(ｲ) 正孔が受ける力の向き】

図1で，電極①から電極②に向かう向きを右，上向きを磁界Bの向き，電流Iは奥から手前に流れています。正孔は電流と同じ向き（手前向き）に動くので，ローレンツ力 F＝q(v×B) の向きは，フレミングの左手の法則で「中指＝電流（手前），人差し指＝磁界（上）」とすると親指は左を向きます。正孔は左側の電極①へ寄せられ，電極①が正，反対側の電極②が負に帯電します。

【(ｳ) n形の場合】

n形のキャリアは電子です。電流が同じ向きでも電子は逆向き（奥向き）に動きますが，電荷も負なので，受ける力の向きは正孔と同じく左向きです。左側の電極①に電子（負電荷）が集まり，電極①が負，電極②が正になります。電荷の分布が逆になるので，内部の電界の向きはp形と反対です。

【(ｴ) ホール電圧の式】

V_H＝R_H·BI/d［V］

ホール電圧は磁束密度Bと電流Iに比例し，半導体の厚さdに反比例します。R_Hはホール係数で，単位は［m³/C］です。

【選択肢の見分け】

(1)～(3)は(ｳ)を「同じ」としており，キャリアの符号の違いを考えていません。(4)は(ｴ)は正しいものの，(ｱ)(ｲ)の符号が逆です。

正答は(5)です。

【ホール電圧の式の導き方】

キャリアの電荷をq，密度をn，速度をv，半導体の幅（電極①－②間の距離）をw，厚さをdとします。電流は I＝nqv·wd です。

キャリアは磁界から qvB の力を受けて片側に寄り，その結果生じた電界E_Hから qE_H の力を受けます。両者が釣り合うと，それ以上キャリアは寄らなくなります。

qE_H＝qvB → E_H＝vB

V_H＝E_H·w＝vBw＝{I/(nq·wd)}·B·w＝(1/(nq))·BI/d

したがって R_H＝1/(nq) です。幅wは式から消え，厚さdだけが残ります。(ｴ)がBI/dになるのはこのためで，「d」が分子に来る(3)は誤りです。

【ホール係数からわかること】

・R_Hの符号はキャリアの電荷の符号で決まります。正孔（p形）なら正，電子（n形）なら負です。ホール電圧の向きを測れば，半導体がp形かn形かを判定できます。

・R_Hの大きさはキャリア密度nに反比例します。金属は自由電子の密度が非常に大きいためホール電圧がごく小さく，キャリア密度の小さい半導体がホール素子に使われます。

・同じ理由で，薄い（dの小さい）素子ほど大きなホール電圧が得られます。

【n形でも力の向きが同じになる理由】

電子は電流と逆向きに動きますが，電荷も負なので，F＝q(v×B) では v と q の両方の符号が反転して力の向きは変わりません。正孔も電子も同じ側の電極に寄せられ，その電荷の符号だけが違うので，ホール電圧の極性（電界の向き）が反対になります。「キャリアの動く向きが逆だから，寄る側も逆」と考えるのはよくある誤りです。

【応用】

ホール素子は，電流を一定にしておけばホール電圧が磁束密度に比例するので，磁界の測定（ガウスメータ）や，電流のまわりにできる磁界から電流を非接触で測る電流センサ，モータの回転子の位置検出などに使われます。

【関連する出題パターン】

・ホール電圧の式から，B，I，dのどれかを変えたときの電圧の変化を求める計算

・フレミングの左手の法則による電磁力の向きの判定