測量士補 地図編集 問15出典: 令和8年度 問22

地図投影法に関する問題です。正答は「2（a，e）」で，a と e が誤りです。

aが誤りの理由：平面直角座標系のX軸は「子午線に平行な軸」で「真北に向かう方向を正」とします。「子午線に直交する軸」はY軸の説明であり，「真東を正」はY軸の方向です。

eが誤りの理由：正距図法は「正距方位図法（azimuthal equidistant projection）」の場合，中心点からの距離を正しく表現できますが，全ての地点間の距離を同一縮尺で表示することは不可能です。全ての点対間の距離を同縮尺で表せる図法は存在しません（地球が球体であるため，平面に歪みなく展開できない）。

b・c・dはすべて正しい記述です。

【地図投影法の正誤判定：座標系・UTM・図法の正確な定義】

a（誤り）：平面直角座標系のX軸・Y軸

平成14年国土交通省告示第9号による定義：

• X軸：座標系原点において子午線に平行な軸，真北を正（北方向＋）
• Y軸：座標系原点において子午線に直交する軸，真東を正（東方向＋）

一般的なXY座標系（X：東，Y：北）と逆転していることに注意。測量の慣習から，X軸が南北方向（縦）となっています。

選択肢aの「X軸は子午線に直交・真東を正」はY軸の説明であり誤り。

e（誤り）：正距図法の限界

正距方位図法（特定の1点を中心に置く場合）：中心点からの全方向への距離は正しく表現できますが，それ以外の2点間の距離は一般に歪みます。

「全ての地点間の距離を同一縮尺で表示できる」図法は理論的に存在しません（ガウス曲率定理による）。

b（正）：平面直角座標系の原点

日本の平面直角座標系（19系統）の原点は，各系統の中心子午線と特定緯度の交点ですが，すべて日本国内（北緯24°〜45°程度）にあり，赤道上（北緯0°）にはありません。

c（正）：UTMの適用範囲と帯の分割

UTM（Universal Transverse Mercator）：

• 適用範囲：北緯84°以南〜南緯80°以北
• 分割：経度6°幅で60ゾーンに分割
• 日本：UTM Zone 51〜55に相当（東経126°〜150°付近）

d（正）：UTMの投影法

UTMはガウス・クリューゲル（Gauss-Krüger）投影法を採用した横円筒図法の一種です。各ゾーン中央子午線で縮尺係数1（真の距離），端部で縮尺係数0.9996（許容範囲内）。

【地図投影法の深層：ガウス・クリューゲル図法の数学的基礎と実務応用】

平面直角座標系（JGD2011）の体系：

日本の平面直角座標系は19系統あり，各系統は特定の都道府県群をカバーします：

• 第1系：長崎県・沖縄県（原点：北緯33°，東経129°30′）
• 第9系：東京都等（原点：北緯36°，東経139°50′）
• 第18系：沖縄本島等

各座標系はガウス・クリューゲル図法で，原点に縮尺係数0.9999を設定（原点周辺の縮尺誤差最小化）。

ガウス・クリューゲル投影の数式：

楕円体（a，b）上の地理学的座標（φ，λ）を平面直角座標（X，Y）に変換する複素展開式：

w = a(1−e²) × （φ，λに関する複素級数展開）

（詳細な展開係数は測地学の専門書参照）

実用上は，国土地理院が提供する「TKY2JGD」「PatchJGD」等のパラメータファイルを使ったソフトウェア計算が標準。

各投影法の性質比較（測量士試験向け）：

| 図法 | 保形性 | 等積性 | 正距性 | 主な用途 |

|---|---|---|---|---|

| メルカトル図法 | 保形（等角） | ✗ | ✗ | 航海図 |

| 正積円筒図法 | ✗ | 等積 | ✗ | 主題図（人口等） |

| 正距方位図法 | ✗ | ✗ | 中心点から | 電波・航空路 |

| ガウス・クリューゲル | 保形（局所） | ✗ | ✗ | 測量・基本地図 |

| 正射図法 | ✗ | ✗ | ✗ | 宇宙・航空写真風 |

任意の2点間の距離を全て正しく表示できない理由（ガウスの理論）：

ガウスの曲率定理（Theorema Egregium）：「内在曲率は等長変換（等距離変換）によって不変」。球面・楕円体の内在曲率はゼロでない一方，平面の内在曲率はゼロ。したがって，球面を平面に展開する際に必ず何らかの歪み（角度・距離・面積のいずれか）が生じます。これが「全点間距離を同縮尺で表示できる図法が存在しない」の数学的根拠です。